Eerstegraadsfuncties — Studieportaal

f(x) = ax — De functie door de oorsprong

De eenvoudigste eerstegraadsfunctie

Definitie

Eerstegraadsfunctie door de oorsprong

Een eerstegraadsfunctie met de vorm f(x) = ax waar a ∈ ℝ₀ (a mag niet nul zijn) is een functie waarbij x het exponent 1 heeft.

De grafiek is een rechte lijn die door de oorsprong O(0,0) gaat.

💡

De letter a is een constante (een vast getal). Het bepaalt hoe steil de lijn is. We noemen dit de richtingscoëfficiënt of rico.

De grafiek tekenen

Om de grafiek van f(x) = ax te tekenen heb je twee punten nodig:

Stap 1: Teken altijd het punt O(0, 0) — de oorsprong.

Stap 2: Kies een handige x-waarde (bijvoorbeeld 1, 2, of 3) en bereken f(x). Teken dit punt.

Stap 3: Trek een rechte lijn door beide punten.

Uitgewerkt voorbeeld

Teken de grafiek van f(x) = −2x

Punt 1: O(0, 0) — altijd door de oorsprong.

Punt 2: Kies x = 3. Dan f(3) = −2 · 3 = −6. Dus P(3, −6).

Trek een lijn door O(0,0) en P(3,−6).

Tabel en waardes

Voor f(x) = −2x:

x	−2	−1	0	1	2	3
f(x)	4	2	0	−2	−4	−6

Opmerking: x en f(x) zijn recht evenredig. Als je x met 2 vermenigvuldigt, wordt f(x) ook met 2 vermenigvuldigd. De evenredigheidsfactor is a (in dit geval −2).

Recht evenredig verband

Bij f(x) = ax spreken we van een recht evenredig verband tussen x en f(x):

f(x) / x = a (constant)

Dit betekent: als x stijgt, stijgt f(x) ook (wanneer a > 0), en ze doen dit steeds in dezelfde verhouding.

Richtingscoëfficiënt — de helling van de lijn

Hoe stijgend of dalend is de lijn?

Definitie: rico en differentiequotiënt

Richtingscoëfficiënt (rico)

Voor f(x) = ax is de richtingscoëfficiënt (afgekort: rico) het getal a.

Dit is ook gelijk aan het differentiequotiënt:

rico = Δf(x)/Δx = [f(x₂) − f(x₁)] / (x₂ − x₁) = a (constant)

Dit quotiënt is altijd hetzelfde, ongeacht welke twee punten je kiest op de lijn.

Wat betekent rico?

Als a > 0 (positief)

De lijn gaat omhoog (van links naar rechts). We zeggen: de functie is stijgend (↗). Hoe groter a, hoe steiler.

Als a < 0 (negatief)

De lijn gaat omlaag (van links naar rechts). We zeggen: de functie is dalend (↘). Hoe kleiner a (meer negatief), hoe steiler.

💡

Ezelsbruggetje: Als x met 1 toeneemt, neemt f(x) toe met |a|. Dus a geeft aan hoeveel stappen je omhoog (of omlaag) gaat per stap naar rechts.

Rico berekenen uit twee punten

Als je twee punten op de lijn hebt, kun je rico uitrekenen:

rico = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Voorbeeld

Twee punten: P(1, 3) en Q(5, 11). Bereken rico:

Δy = 11 − 3 = 8

Δx = 5 − 1 = 4

rico = 8 / 4 = 2

De lijn stijgt: voor elke stap naar rechts, ga je 2 stappen omhoog.

Rico aflezen uit een grafiek

Kijk naar het patroon op de grafiek:

Kies twee punten met duidelijke coördinaten op de lijn (bijvoorbeeld roosterpunten).

Bereken Δy (verticaal verschil) en Δx (horizontaal verschil).

Deel: rico = Δy / Δx.

Grafisch voorbeeld

Van P(0, 1) naar Q(2, 5): Δy = 4, Δx = 2, dus rico = 4/2 = 2. De lijn stijgt met 2 per x-stap.

f(x) = ax + b — De algemene eerstegraadsfunctie

Rechte lijnen die niet per se door de oorsprong gaan

Definitie

Algemene eerstegraadsfunctie

Een eerstegraadsfunctie met de vorm f(x) = ax + b waarbij a ∈ ℝ₀ en b ∈ ℝ (a mag niet nul zijn, b mag wel).

a is weer de richtingscoëfficiënt (rico) — het bepaalt de helling.
b is de y-as-snijding — het punt waar de grafiek de y-as kruist.

Hoe ontstaat f(x) = ax + b uit f(x) = ax?

De grafiek van f(x) = ax + b is gewoon de grafiek van f(x) = ax verticaal verschoven door b eenheden:

Als b > 0

Schuif de lijn omhoog met b eenheden.

Als b < 0

Schuif de lijn omlaag met |b| eenheden.

💡

De rico blijft hetzelfde (nog steeds a). Alleen de helling verandert niet, maar de ligging van de lijn verschuift verticaal.

Snijpunt met de y-as

De grafiek van f(x) = ax + b snijdt de y-as op het punt:

Sy(0 , b)

Waarom? Als x = 0, dan f(0) = a·0 + b = b.

Voorbeeld

f(x) = 3x + 6:

Snijpunt y-as: x = 0 → f(0) = 3·0 + 6 = 6 → punt S_y(0, 6)

Rico: a = 3, dus de lijn stijgt met 3 per x-stap.

Extra punt: bij x = −1 → f(−1) = 3·(−1) + 6 = 3 → punt P(−1, 3)

Trek een lijn door S_y(0, 6) en P(−1, 3).

De grafiek tekenen

Twee methodes om f(x) = ax + b te tekenen:

Methode 1: y-as-snijding en rico

Teken punt (0, b). Gebruik rico om volgende punten te vinden: zet a stappen omhoog per 1 stap naar rechts.

Methode 2: Twee coördinaten

Bereken twee punten door willekeurige x-waarden in te vullen, teken ze, trek de lijn.

Kenmerken van f(x) = ax + b

Domein, bereik, nulwaarden, verloop...

Samenvattingstabel: kenmerken naar rico

Alle eerstegraadsfuncties f(x) = ax + b (met a ≠ 0) hebben deze kenmerken:

Kenmerk	Waarde
Domein	dom f = ℝ (alle reële getallen)
Bereik	ber f = ℝ (alle reële getallen)
Nulwaarde	x = −b/a (los ax + b = 0 op)
Nulpunt	(−b/a , 0)
Y-as-snijding	Sₓ(0 , b)
Extrema (max/min)	geen — het is een rechte lijn
Verloop (a > 0)	↗ stijgend
Verloop (a < 0)	↘ dalend

Tekenverloop (positief/negatief)

Voor f(x) = ax + b bepaal je waar de functie positief (+), nul (0) of negatief (−) is:

Als a > 0 (stijgende lijn):

x	−∞		−b/a		+∞
f(x)	−	−	0	+	+

Links van nulwaarde is f(x) < 0, rechts is f(x) > 0.

Als a < 0 (dalende lijn):

x	−∞		−b/a		+∞
f(x)	+	+	0	−	−

Links van nulwaarde is f(x) > 0, rechts is f(x) < 0.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1: g(x) = 4x − 5

Analyse

Domein: ℝ

Bereik: ℝ

Nulwaarde: 4x − 5 = 0 → x = 5/4 = 1,25

Y-snijding: (0, −5)

Rico a = 4 > 0: stijgende lijn (↗)

Tekenverloop: f(x) < 0 voor x < 1,25; f(x) = 0 voor x = 1,25; f(x) > 0 voor x > 1,25

Voorbeeld 2: i(x) = −2x + 4

Analyse

Domein: ℝ

Bereik: ℝ

Nulwaarde: −2x + 4 = 0 → −2x = −4 → x = 2

Y-snijding: (0, 4)

Rico a = −2 < 0: dalende lijn (↘)

Tekenverloop: f(x) > 0 voor x < 2; f(x) = 0 voor x = 2; f(x) < 0 voor x > 2

Opstellen van functievoorschriften

Van gegevens naar f(x) = ax + b

Methode 1: Gegeven rico (a) en één punt

Als je de rico a kent en één punt P(x₀, y₀) op de lijn, kun je b vinden:

Schrijf: f(x) = ax + b (met a bekend)

Vul het punt in: y₀ = a·x₀ + b

Los naar b op: b = y₀ − a·x₀

Schrijf het volledige voorschrift.

Voorbeeld

Rico = 2, en de lijn gaat door P(−2, 4).

f(x) = 2x + b

Vul P in: 4 = 2·(−2) + b

4 = −4 + b → b = 8

Antwoord: f(x) = 2x + 8

Methode 2: Gegeven twee punten

Als je twee punten P(x₁, y₁) en Q(x₂, y₂) hebt, bereken je eerst a, dan b:

Stap 1: Bereken a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Stap 2: Vul een van de punten in: y₁ = a·x₁ + b

Stap 3: Los b op: b = y₁ − a·x₁

Stap 4: Schrijf f(x) = ax + b

Voorbeeld

P(−1, 3) en Q(3, 5). Bepaal het voorschrift.

Stap 1: a = (5 − 3) / (3 − (−1)) = 2 / 4 = 1/2

Stap 2: Vul P in: 3 = (1/2)·(−1) + b

Stap 3: 3 = −1/2 + b → b = 3 + 1/2 = 7/2

Antwoord: f(x) = (1/2)x + 7/2

Controle: vul beide punten in!

Voor het voorbeeld f(x) = (1/2)x + 7/2:

f(−1) = (1/2)·(−1) + 7/2 = −1/2 + 7/2 = 6/2 = 3 ✓ (klopt, P(−1,3))

f(3) = (1/2)·3 + 7/2 = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5 ✓ (klopt, Q(3,5))

Vergelijkingen en ongelijkheden grafisch oplossen

Snijpunten vinden en intervallen bepalen

f(x) = g(x): Snijpunten vinden

Om twee functies f en g gelijk te stellen, zoek je het punt waar hun grafieken elkaar kruisen:

Grafisch: Teken beide grafieken en lees de x-coördinaat van het snijpunt af.

Algebraïsch: Los f(x) = g(x) op naar x.

Voorbeeld

f(x) = 2x − 1 en g(x) = −x + 5. Waar snijden ze?

2x − 1 = −x + 5

3x = 6

x = 2

f(2) = 2·2 − 1 = 3, dus snijpunt: (2, 3)

f(x) > g(x): Waar ligt f boven g?

Om te zien waar f(x) > g(x):

Teken beide grafieken.

Bepaal waar de grafiek van f boven de grafiek van g ligt.

Lees het interval af (alleen teken: groter of kleiner dan het snijpunt x-waarde).

Voorbeeld

Voor f(x) = 2x − 1 en g(x) = −x + 5 (snijpunt x = 2):

Links van x = 2 ligt g boven f. Rechts van x = 2 ligt f boven g.
Dus: f(x) > g(x) voor x > 2.

✓

Oefeningen

Test je kennis van eerstegraadsfuncties!

Oefening 1 — Functiewaarden bij f(x) = ax

Gegeven: f(x) = 4x

Zelf proberen

a) Bereken f(−4) =

b) Bereken f(0) =

c) Bereken f(2) =

d) Voor welke x is f(x) = −12? x =

a) f(−4) = 4 · (−4) = ?
b) f(0) = 4 · 0 = ?
c) f(2) = 4 · 2 = ?
d) Los op: 4x = −12 → x = ?

Oefening 2 — Rico aflezen

Zelf proberen

a) f(x) = −5/2 x. Wat is rico f?

b) g(x) = 2/3 x. Wat is rico g?

c) Welke functie is stijgend?

a) Rico f = coëfficiënt van x = −5/2
b) Rico g = coëfficiënt van x = 2/3
c) Stijgend betekent rico > 0. Welke is groter dan 0?

Oefening 3 — Tabel invullen

Gegeven: f(x) = −3x + 3

Zelf proberen

Vul de ontbrekende waarden in:

x	−2	0	1	3
f(x)

Vul telkens x in de formule f(x) = −3x + 3:
f(−2) = −3·(−2) + 3 = 6 + 3 = ?
f(0) = −3·0 + 3 = ?
f(1) = −3·1 + 3 = ?
f(3) = −3·3 + 3 = ?

Oefening 4 — Kenmerken bepalen

Gegeven: f(x) = −3/8 x − 2

Zelf proberen

a) Nulwaarde (los op f(x) = 0): x =

b) Snijpunt y-as: (0, )

c) Stijgend of dalend?

a) −3/8 x − 2 = 0 → −3/8 x = 2 → x = 2 ÷ (−3/8) = 2 · (−8/3) = ?
b) De y-snijding is b = −2
c) Kijk naar rico = −3/8. Is dit > 0 of < 0?

Oefening 5 — Voorschrift: rico en punt

Een lijn heeft rico 2 en gaat door P(−1, 1). Bepaal f(x).

Zelf proberen

f(x) =

f(x) = 2x + b (rico = 2)
Vul P(−1, 1) in: 1 = 2·(−1) + b → 1 = −2 + b → b = ?
Dus f(x) = 2x + ?

Oefening 6 — Voorschrift: twee punten

Een lijn gaat door P(−2, 2) en Q(2, 4). Bepaal f(x).

Zelf proberen

a) Rico a =

b) f(x) =

a) a = Δy/Δx = (4 − 2) / (2 − (−2)) = 2 / 4 = 1/2
b) f(x) = (1/2)x + b. Vul P in: 2 = (1/2)·(−2) + b → b = ?

Oefening 7 — Punten op grafiek controleren

Gegeven: f(x) = 4/7 x − 8. Welke punten liggen op de grafiek?

Zelf proberen

A(7, −4):

B(17, 12/7):

C(−7, −12):

Controleer elk punt door de x-waarde in te vullen:
A: f(7) = 4/7·7 − 8 = 4 − 8 = −4. Klopt P(7, −4)? Ja!
B: f(17) = 4/7·17 − 8 = 68/7 − 56/7 = 12/7. Klopt? Ja!
C: f(−7) = 4/7·(−7) − 8 = −4 − 8 = −12. Klopt? Ja!

Oefening 8 — Toepassingsvraag: papegaai Yoda

Lotte adopteert een Senegal-papegaai (Yoda). Na 1 jaar bedraagt de totale uitgaven €946, na 2 jaar €1466.

Zelf proberen

a) Bepaal de functie p(t) = at + b, waarbij t = jaren.
Rico a = €/jaar

b) De startkosten zijn b = €

c) Na 35 jaar: totaal = €

d) Als totaal €19666 is, hoe oud is Yoda? t = jaar

a) P(1, 946) en Q(2, 1466)
a = (1466 − 946) / (2 − 1) = 520
b) 946 = 520·1 + b → b = 426
c) p(35) = 520·35 + 426 = ?
d) 520t + 426 = 19666 → 520t = ? → t = ?