Alles over verbanden, functies en hun kenmerken — helder uitgelegd, stap voor stap
Hoe hangen dingen samen?
Een grootheid is een kenmerk waarvan je de waarde kunt bepalen door te meten of te tellen. Een eenheid is de maat waarin je die grootheid uitdrukt.
De lengte van een ribbe is 2 centimeter.
Hier is "lengte" de grootheid en "centimeter" de eenheid.
Onafhankelijke variabele = de variabele waarvoor jij de waarde kiest.
Afhankelijke variabele = de variabele waarvan de waarde volgt uit (berekend wordt met) de onafhankelijke variabele.
"De snelheid waarmee tomaten groeien hangt af van het type licht."
| Onafhankelijk | Afhankelijk | |
|---|---|---|
| Tomaten & licht | Type licht | Snelheid groei |
| Bloedsuiker & frisdrank | Aantal frisdranken | Bloedsuikerspiegel |
| Nachtrust & telefoon | Telefoongebruik | Kwaliteit nachtrust |
"Als de ribbe langer wordt, wordt het volume groter."
| z (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| V (cm³) | 1 | 8 | 27 | 64 |
De grafiek toont punten (z, V) op een assenstelsel.
Niet elk verband is een functie!
Een functie is een verband tussen twee variabelen waarbij voor elke waarde van de onafhankelijke variabele hoogstens één waarde voor de afhankelijke variabele bestaat.
Denk er zo over: als je één x-waarde invult, krijg je maximaal één y-waarde terug. Krijg je er twee of meer? Dan is het geen functie.
Trek een denkbeeldige verticale lijn door elke x-waarde van de grafiek:
Wel een functie
Elke verticale lijn snijdt max. 1×
Geen functie
Verticale lijn snijdt 2×
De formule achter de functie
Een functievoorschrift is de formule die het verband beschrijft als het een functie is.
f is de naam van de functie, x is de onafhankelijke variabele (invoerwaarde), en het deel rechts van het = teken is de rekenregel.
De functiewaarde is de uitkomst als je een getal invult voor x. Je vervangt x door het getal.
Gegeven: f(x) = 2x + 4
Bereken f(0):
Bereken f(−7):
Soms ken je de functiewaarde en moet je de invoerwaarde (x) zoeken. Dan los je een vergelijking op.
Gegeven: f(x) = 2x + 4. Voor welke x is f(x) = 10?
Dus f(3) = 10.
Hier is y = 0 (of f(x) = 0). Los op naar x.
Hier is x = 0. Bereken f(0).
f(x) = −2x + 9
Snijpunt x-as: −2x + 9 = 0 → −2x = −9 → x = 9/2 = 4,5 → Sx(4,5 ; 0)
Snijpunt y-as: f(0) = −2·0 + 9 = 9 → Sy(0 ; 9)
Welke waarden mag je invullen en welke komen eruit?
Het domein van een functie (dom f) is de verzameling van alle invoerwaarden (x-waarden) waarvoor de functie bestaat.
Het bereik van een functie (ber f) is de verzameling van alle functiewaarden (y-waarden) die de functie kan aannemen.
Kijk horizontaal: van de meest linkse tot de meest rechtse x-waarde op de grafiek.
Kijk verticaal: van de laagste tot de hoogste y-waarde op de grafiek.
Een grafiek loopt van x = −10 (gesloten punt) tot x = 0 (gesloten punt):
De y-waarden lopen van −6 (gesloten) tot 4 (gesloten):
Als een grafiek oneindig doorloopt (bijv. een rechte lijn), gebruik je het symbool ∞:
Bijvoorbeeld bij f(x) = 2x + 4 mag je elke x-waarde invullen, dus het domein is heel ℝ.
Waar kruist de grafiek de x-as?
Een nulwaarde is een x-waarde waarvoor f(x) = 0. Het is de invoerwaarde bij het snijpunt met de x-as.
Een nulpunt is het punt zelf op de grafiek: het coördinatenpaar (x, 0).
Stel f(x) = 0 en los op naar x.
f(t) = ⅔t + ⅚
Nulwaarde: −5/4
Nulpunt: (−5/4 , 0)
g(x) = x² − 121
Nulwaarden: 11 en −11
Nulpunten: (11, 0) en (−11, 0)
Waar is de functie positief, negatief of nul?
Een tekenschema geeft overzichtelijk weer waar de functiewaarden positief (+), negatief (−) of nul (0) zijn.
f(x) > 0 (positief) → grafiek ligt boven de x-as → noteer +
f(x) < 0 (negatief) → grafiek ligt onder de x-as → noteer −
f(x) = 0 → grafiek snijdt of raakt de x-as → noteer 0
Een functie g met domein ]−5, 6] en nulwaarde x = −3:
| x | ]−5 | −3 | 6] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | − | − | 0 | + | + |
Links van x = −3 is g(x) negatief (grafiek onder de x-as), rechts is g(x) positief (grafiek boven de x-as).
Stijgen, dalen, en de hoogste en laagste punten
Stijgend: als x groter wordt, wordt f(x) ook groter. De grafiek gaat omhoog (van links naar rechts). Noteer: ↗
Dalend: als x groter wordt, wordt f(x) kleiner. De grafiek gaat omlaag. Noteer: ↘
Constant: f(x) verandert niet als x verandert. De grafiek is een horizontale lijn.
Een punt waar de functie van stijgend naar dalend gaat. De functiewaarde is er het grootst (lokaal).
Een punt waar de functie van dalend naar stijgend gaat. De functiewaarde is er het kleinst (lokaal).
Een verloopschema combineert alles: het toont de x-waarden, de bijbehorende f(x)-waarden, en met pijlen of de functie stijgt (↗) of daalt (↘).
Een functie met dom f = [−7, 8]:
| x | −7 | −6 | −2 | 2 | 4 | 6 | 8 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↗ | 8 | ↘ | 1 | ↗ | 9 | ↘ | −3 | ↗ | 5 | ↘ | 2 |
Uit dit schema lezen we af: bij x = −6 is een lokaal maximum (f = 8), bij x = −2 een lokaal minimum (f = 1), enz. Het absoluut maximum is 9 (bij x = 2) en het absoluut minimum is −3 (bij x = 4).
Spiegelingen herkennen
De grafiek is een spiegelbeeld links en rechts van een verticale lijn (de symmetrieas). Voorbeeld: f(x) = x² is symmetrisch t.o.v. de y-as.
Een puntspiegeling rond het punt (0, 0). Als (a, b) op de grafiek ligt, dan ook (−a, −b). Voorbeeld: f(x) = x³.
Eerst uitgelegd, dan zelf doen!
Gegeven: f(x) = 2x + 4
a) Bereken f(5) =
b) Bereken f(−3) =
c) Voor welke x is f(x) = 20? x =
Gegeven: g(x) = 10/x
a) Bereken g(−2) =
b) Bereken g(1/2) =
c) Voor welke x is g(x) = −45? x =
Gegeven: h(x) = x² − 2
a) Bereken h(6) =
b) Bereken h(−2/3) = (gebruik een breuk, bijv. −14/9)
c) Voor welke x is h(x) = −1? x = (geef beide waarden, bijv. 1 of -1)
Gegeven: f(x) = ¼x + 2
Vul de ontbrekende waarden in:
| x | −9 | −5 | 7 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 1 | 5 |
Gegeven: f(x) = −¼x − ⅔
a) Snijpunt met de x-as: Sx( , 0 )
b) Snijpunt met de y-as: Sy( 0 , )
a) f(x) = 3x − 15. Nulwaarde: x =
b) g(x) = x² − 49. Nulwaarden: x = en x =
c) h(x) = −4x + 10. Nulwaarde: x =
Bepaal voor f(x) = (x + 4)³:
a) Domein: dom f =
b) Bereik: ber f =
c) Nulwaarde: x =
d) Symmetrie:
Mia gooit een papieren vliegtuig vanop haar boomhut. De hoogte wordt beschreven door:
h(t) = −0,5t² + 2t + 4,2 (h in meter, t in seconden)
a) Op welke hoogte vertrekt het vliegtuig? m
b) Wat is de maximale hoogte? m
c) Wanneer bereikt het vliegtuig de max. hoogte? Na seconden
d) Na hoeveel seconden landt het vliegtuig? Na seconden