← Terug naar 📐 overzicht

Goniometrie

Hoofdstuk 5 — Goniometrische getallen en rekenen in driehoeken

1

Goniometrische getallen van een scherpe hoek

Definities van sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek (1.1)

1.1 — Definities in een rechthoekige driehoek

Beschouw een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek C = 90° en een scherpe hoek α bij hoekpunt A.

De zijden noemen we: a = |BC| (overstaande rechthoekzijde van α), b = |AC| (aanliggende rechthoekzijde van α), c = |AB| (schuine zijde).

Definitie — Sinus

sin α = overstaande rechthoekzijde / schuine zijde = ORZ / SZ = |BC| / |AB| = a / c

Definitie — Cosinus

cos α = aanliggende rechthoekzijde / schuine zijde = ARZ / SZ = |AC| / |AB| = b / c

Definitie — Tangens

tan α = overstaande rechthoekzijde / aanliggende rechthoekzijde = ORZ / ARZ = |BC| / |AC| = a / b

Ezelsbruggetje: SOS CAS TOA

Onthoud de drie verhoudingen met dit geheugensteuntje:

Sin = Overstaande / Schuine   •   Cos = Aanliggende / Schuine   •   Tan = Overstaande / Aanliggende

SOS — CAS — TOA

Belangrijke opmerkingen

  • Positieve getallen: Goniometrische getallen zijn steeds positieve reële getallen, want het zijn verhoudingen van lengten.
  • sin α en cos α liggen tussen 0 en 1: De schuine zijde is altijd de langste zijde in een rechthoekige driehoek, dus 0 < sin α < 1 en 0 < cos α < 1.
  • tan α kan groter zijn dan 1: De overstaande zijde kan langer zijn dan de aanliggende zijde (bv. bij een hoek van 60°).

Uitgewerkt voorbeeld

Voorbeeld

Gegeven: driehoek ABC met C = 90°, zijden a = 6, b = 8, c = 10.

Bereken sin α, cos α en tan α.

sin α = ORZ / SZ = a / c = 6 / 10 = 0,6
cos α = ARZ / SZ = b / c = 8 / 10 = 0,8
tan α = ORZ / ARZ = a / b = 6 / 8 = 0,75

Interactieve rechthoekige driehoek

Sleep het oranje punt om de hoek α te veranderen en zie hoe sin, cos en tan mee veranderen.

α = 45° sin α = 0.707 cos α = 0.707 tan α = 1.000
2

Verbanden tussen goniometrische getallen

Twee fundamentele verbanden: tangens-verband en de grondformule (1.2)

Verband 1 — Tangens als quotiënt

Stelling

tan α = sin α / cos α

tan α = sin α / cos α
Bewijs
We vertrekken van sin α / cos α
= (a/c) / (b/c)
= (a/c) · (c/b) = a/b
= tan α   ✓

Verband 2 — De grondformule

Grondformule (zeer belangrijk!)

sin²α + cos²α = 1

sin²α + cos²α = 1

OPGELET — Notatie

sin²α betekent (sin α)², dus het kwadraat van de uitkomst.

Het is NIET hetzelfde als sin(α²)!

Bewijs via Pythagoras
sin²α + cos²α = (a/c)² + (b/c)²
= a²/c² + b²/c² = (a² + b²) / c²
Stelling van Pythagoras: a² + b² = c²
= c² / c² = 1   ✓

Uitgewerkt voorbeeld

Voorbeeld

Gegeven: sin α = 3/7. Bereken cos α en tan α.

Gebruik de grondformule: sin²α + cos²α = 1
cos²α = 1 − sin²α = 1 − (3/7)² = 1 − 9/49 = 40/49
cos α = √(40/49) = √40 / 7 = 2√10 / 7
tan α = sin α / cos α = (3/7) / (2√10/7) = 3 / (2√10)
Noemer wortelvrij maken: 3 / (2√10) · (√10/√10) = 3√10 / 20

Nuttige gevolgen van de grondformule

Door de grondformule te herschrijven, kun je altijd het ene getal berekenen als je het andere kent:

cos²α = 1 − sin²α   ⇒   cos α = √(1 − sin²α)
sin²α = 1 − cos²α   ⇒   sin α = √(1 − cos²α)
3

Rekenen in rechthoekige driehoeken

Hoeknotatie, rekenmachine en driehoeken oplossen (2.1 + 2.2)

3.1 — Hoeknotatie

Hoeken kunnen op twee manieren genoteerd worden:

  • Decimale graden: bv. 45,1° — de komma-cijfers zijn tienden, honderdsten, enz. van een graad.
  • Zestigdelige graden (GMS): bv. 45°6'0" — met graden (°), minuten (') en seconden (").
    1° = 60' (boogminuten)   •   1' = 60" (boogseconden)

3.2 — Rekenmachine gebruiken

Goniometrisch getal berekenen

Toets de functie (sin, cos of tan) in, gevolgd door de hoek.

Voorbeelden

sin(60°27'13")  →  voer in met de GMS-toets (°'")

cos(28,37°)  →  voer in als decimaal getal

tan(30°14")  →  let op: 0 minuten, 14 seconden

Hoek berekenen (inverse functie)

Gebruik de inverse toetsen sin¹, cos¹, tan¹ (vaak SHIFT + sin/cos/tan).

Voorbeelden

sin α = 0,783  →  α = sin−1(0,783) ≈ 51,52°

cos α = 0,23  →  α = cos−1(0,23) ≈ 76,70°

3.3 — Rechthoekige driehoek oplossen

Om een rechthoekige driehoek volledig op te lossen (alle zijden en hoeken te vinden), gebruik je 3 hulpmiddelen:

  • Goniometrische getallen: sin α, cos α, tan α om relaties tussen hoeken en zijden te leggen.
  • Stelling van Pythagoras: a² + b² = c² om een zijde te berekenen als je de andere twee kent.
  • Som van de hoeken: α + β + 90° = 180°, dus α + β = 90°.
Werkwijze

Volg altijd deze stappen:

Maak een schets en duid de gekende en gevraagde gegevens aan.
Kies de juiste formule: welke goniometrische verhouding bevat de gekende en de gevraagde grootheden? Of gebruik Pythagoras als je twee zijden kent.
Bereken het gevraagde en rond af op 2 decimalen (tenzij anders gevraagd).

Uitgewerkt voorbeeld — Zijden berekenen

Voorbeeld

In driehoek ABC (C = 90°), |AC| = 12 en α = 35°. Bereken |BC| en |AB|.

Schets: α bij A, rechte hoek bij C. |AC| = 12 is de aanliggende zijde van α, |BC| is de overstaande zijde.
|BC| zoeken: we kennen ARZ en zoeken ORZ → gebruik tan.
tan 35° = |BC| / 12
|BC| = 12 · tan 35° ≈ 12 · 0,7002 ≈ 8,40
|AB| zoeken: we kennen ARZ en zoeken SZ → gebruik cos.
cos 35° = 12 / |AB|
|AB| = 12 / cos 35° ≈ 12 / 0,8192 ≈ 14,65

Toepassingen

Goniometrie komt overal voor in het dagelijks leven:

  • Skicentrum: een helling met een bepaalde hoek — bereken de lengte of het hoogteverschil.
  • Camera op driepoot: hoe hoog moet de driepoot om onder een bepaalde hoek naar beneden te filmen?
  • Boot op een rivier: onder welke hoek moet een boot varen om de stroming te compenseren?
  • Ladder tegen een muur: hoe hoog reikt een ladder die onder een bepaalde hoek staat?
4

Oefeningen

Vul je antwoord in en krijg stap-voor-stap feedback

Hoe typ je wiskundige symbolen?

Breuken:typ 5/13 of 3/5
Wortels:typ 2V2/3 of 2sqrt2/3
Decimalen:typ 0.75 of 0,75 (punt of komma)
Graden:typ 30 (zonder °-teken)
Gonio:typ sin^2 voor sin²α of cos voor cos α

0 / 12 beantwoord