Rekenen met reële getallen

Rekenen met machten

Definities en rekenregels voor machten met gehele exponenten en reële grondtallen (p. 72–74)

Definities en afspraken

We vertrekken van de bekende definitie van een macht en breiden uit naar alle gehele exponenten.

Definitie — Macht met natuurlijke exponent

Voor alle a ∈ ℝ en n ∈ ℕ₀ :

aⁿ = a · a · a · … · a (n factoren)

a¹ = a — elke macht met exponent 1 is het grondtal zelf
a⁰ = 1 — voor alle a ∈ ℝ₀ (a ≠ 0)
0⁰ is niet gedefinieerd
a⁻¹ = 1/a — het omgekeerde van a (a ≠ 0)
a⁻ⁿ = (1/a)ⁿ = 1/aⁿ — negatieve exponent = omgekeerde

Voorbeelden

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

(−2)⁴ = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16

7⁰ = 1 (√3)⁰ = 1 π⁰ = 1

3⁻² = 1/3² = 1/9

De 5 rekenregels voor machten

Geldig voor alle a, b ∈ ℝ₀ en m, s ∈ ℤ (gehele exponenten).

Regel 1 — Product van machten met hetzelfde grondtal

Exponenten optellen:

a^m · a^s = a^m+s

Voorbeeld

(√3)⁵ · (√3)⁻³ = (√3)⁵⁺⁽⁻³⁾ = (√3)² = 3

Regel 2 — Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal

Exponenten aftrekken:

a^m / a^s = a^m−s

Voorbeeld

π⁷ / π⁴ = π⁷⁻⁴ = π³

Regel 3 — Macht van een macht

Exponenten vermenigvuldigen:

(a^m)^s = a^m·s

Voorbeeld

((√2)³)⁵ = (√2)^3·5 = (√2)¹⁵

Regel 4 — Macht van een product

De macht verdelen over de factoren:

(a · b)^m = a^m · b^m

Voorbeeld

(5 · π)² = 5² · π² = 25π²

Regel 5 — Macht van een quotiënt

De macht verdelen over teller en noemer:

(a / b)^m = a^m / b^m

Voorbeeld

(√6 / 3)² = (√6)² / 3² = 6/9 = 2/3

Overzicht rekenregels

1. a^m · a^s = a^m+s 2. a^m / a^s = a^m−s 3. (a^m)^s = a^m·s

4. (a·b)^m = a^m·b^m 5. (a/b)^m = a^m/b^m

Rekenen met vierkantswortels

Rekenregels, vereenvoudigen en noemer wortelvrij maken (p. 75–79)

Rekenregels voor vierkantswortels

Regel 1 — Product van vierkantswortels

Voor alle a, b ∈ ℝ⁺ :

√(a · b) = √a · √b

Voorbeeld

√160000 = √(16 · 10000) = √16 · √10000 = 4 · 100 = 400

√12 = √(4 · 3) = √4 · √3 = 2√3

Regel 2 — Quotiënt van vierkantswortels

Voor alle a ∈ ℝ⁺ en b ∈ ℝ₀⁺ :

√(a / b) = √a / √b

Voorbeeld

√(75/3) = √75 / √3 = √25 = 5

√(49/16) = √49 / √16 = 7/4

Macht van een vierkantswortel

(√a)^m = √(a^m)

Voorbeeld

(√5)⁴ = √(5⁴) = √625 = 25

(√2)⁶ = √(2⁶) = √64 = 8

Vierkantswortels herleiden

Vierkantswortels met hetzelfde grondtal kun je optellen en aftrekken, net als gelijksoortige termen:

4√3 + 7√3 = 11√3

9√5 − 2√5 = 7√5

OPGELET — Veelgemaakte fout!

Valkuil

√(a + b) ≠ √a + √b

De wortel van een som is NIET gelijk aan de som van de wortels!

Bewijs met getallen

√(64 + 36) = √100 = 10

√64 + √36 = 8 + 6 = 14

10 ≠ 14 → de regel geldt dus niet!

Vierkantswortels vereenvoudigen

Breng factoren die een volkomen kwadraat zijn buiten het wortelteken.

Ontbind het getal onder het wortelteken in factoren

Zoek de factoren die volkomen kwadraten zijn

Haal de wortel van die factoren buiten het wortelteken

Voorbeeld 1

√75 = √(25 · 3) = √25 · √3 = 5√3

Voorbeeld 2

√200 = √(100 · 2) = √100 · √2 = 10√2

Voorbeeld 3 — met variabelen

√(12a⁹b⁶) = √(4 · 3 · a⁸ · a · b⁶)

= √4 · √(a⁸) · √(b⁶) · √(3a)

= 2a⁴b³√(3a)

Noemer wortelvrij maken

Om een wortel uit de noemer te verwijderen, vermenigvuldig je teller en noemer met diezelfde wortel.

Werkwijze

Vermenigvuldig teller en noemer met √(noemer) zodat de wortel in de noemer verdwijnt.

Voorbeeld 1

9 / √3

= (9 · √3) / (√3 · √3)

= 9√3 / 3

= 3√3

Voorbeeld 2

√(7/18) = √7 / √18 = √7 / (3√2)

= (√7 · √2) / (3√2 · √2)

= √14 / (3 · 2)

= √14 / 6

Vergelijkingen van de eerste graad

Vergelijkingen, bijzondere gevallen, vraagstukken en formules omvormen (p. 80–85)

3.1 — Vergelijkingen met één onbekende

Definitie

Een eerstegraadsvergelijking met één onbekende heeft de vorm:

ax + b = 0 met a ∈ ℝ₀ en b ∈ ℝ

Deze vergelijking heeft precies één oplossing: x = −b/a

Werkwijze — Balansmethode

Los de vergelijking op in 3 stappen:

Werk haakjes weg (distributiviteit)

Balansmethode: breng termen met x naar links, constanten naar rechts

Bereken x: deel beide leden door de coëfficiënt van x

Voorbeeld

−x + √2 = 5√2 − (4/3)x − 2√2

Stap 1: Vereenvoudig het rechterlid

−x + √2 = 3√2 − (4/3)x

Stap 2: Breng x-termen naar links, constanten naar rechts

−x + (4/3)x = 3√2 − √2

(1/3)x = 2√2

Stap 3: Deel door 1/3 (= vermenigvuldig met 3)

x = 6√2

V = {6√2}

3.2 — Bijzondere vergelijkingen

Wat als de coëfficiënt van x wegvalt (a = 0)?

Geval 1: a = 0 en b ≠ 0 → VALSE vergelijking

0x = b (met b ≠ 0) → geen oplossing

Voorbeeld — Vals

2x − 7 = 2(x + 12)

2x − 7 = 2x + 24

0x = 31

Geen enkel getal voldoet! → V = { } = ∅

Geval 2: a = 0 en b = 0 → ONBEPAALDE vergelijking

0x = 0 → oneindig veel oplossingen

Voorbeeld — Onbepaald

2(9 − 3x) = 6 − 3(x − 4) − 3x

18 − 6x = 6 − 3x + 12 − 3x

18 − 6x = 18 − 6x

0x = 0

Elk reëel getal is een oplossing! → V = ℝ

Vergelijking met een parameter

Bij mx = 5 hangt de oplossing af van de waarde van m:

Als m ≠ 0: één oplossing x = 5/m
Als m = 0: 0x = 5 → valse vergelijking, V = ∅

3.3 — Vraagstukken oplossen

Vertaal een woordprobleem naar een vergelijking in 5 stappen:

Stel de onbekende voor: kies x en schrijf op wat het voorstelt

Noteer andere gegevens in functie van x

Stel een vergelijking op uit de voorwaarden

Los de vergelijking op

Formuleer het antwoord in een volledige zin

Voorbeeld

Lode is 18 jaar en zijn papa Jean is 48 jaar. Over hoeveel jaar is Jean dubbel zo oud als Lode?

Stap 1: Stel t = het aantal jaar dat we zoeken

Stap 2: Over t jaar is Lode (18 + t) en Jean (48 + t) jaar oud

Stap 3: Vergelijking: 48 + t = 2(18 + t)

Stap 4: 48 + t = 36 + 2t → 12 = t → t = 12

Stap 5: Over 12 jaar is Jean dubbel zo oud als Lode. (Jean: 60 jaar, Lode: 30 jaar)

3.4 — Omvormen van formules

Je kunt een formule herschrijven zodat een andere variabele geïsoleerd staat.

Werkwijze

Zet de gewenste variabele links en isoleer met de balansmethode.

Voorbeeld

Gegeven: p = 0,002d + 25 (druk in functie van diepte)

Gevraagd: schrijf d in functie van p

p − 25 = 0,002d

d = (p − 25) / 0,002

d = (p − 25) / 0,002

Ongelijkheden van de eerste graad

Eigenschappen, oplossingsmethode en intervalnotatie (p. 86–89)

4.1 — Eigenschappen van ongelijkheden

Ongelijkheidstekens: < , ≤ , > , ≥

Dezelfde zin = hetzelfde teken behouden. Tegengestelde zin = teken omdraaien.

Eigenschap 1 — Optelling

Bij optelling of aftrekking blijft de ongelijkheid behouden:

a < b ⇔ a + c < b + c (dezelfde zin)

Eigenschap 2 — Vermenigvuldiging met POSITIEF getal

Bij vermenigvuldiging met een positief getal (c > 0) blijft de ongelijkheid behouden:

a < b ⇔ a · c < b · c (c > 0, dezelfde zin)

OPGELET — Vermenigvuldiging met NEGATIEF getal

Eigenschap 3 — Het teken keert om!

Bij vermenigvuldiging (of deling) met een negatief getal (c < 0) draait het ongelijkheidsteken om:

a < b ⇔ a · c > b · c (c < 0, TEGENGESTELDE ZIN!)

Voorbeeld

3 < 5 → vermenigvuldig met −2:

3 · (−2) > 5 · (−2)

−6 > −10 ✓ (klopt!)

4.2 — Ongelijkheden met één onbekende

Algemene vorm

ax + b < 0 (of >, ≤, ≥) met a ∈ ℝ₀ en b ∈ ℝ

De oplossingenverzameling V is de verzameling van alle x-waarden die de ongelijkheid waar maken.

Werkwijze

Los op in 4 stappen:

Werk haakjes weg

Breng termen met x naar links, constanten naar rechts

Los op: deel door de coëfficiënt van x.
LET OP: bij deling door een negatief getal → teken omdraaien!

Noteer V als interval

Voorbeeld 1

7x + 3 ≥ 24

7x ≥ 21

x ≥ 3

V = [3, +∞[

←——————[——————→
3
● ========================>

Voorbeeld 2 — teken omdraaien

−½(x − 10) ≤ 7/4

−½x + 5 ≤ 7/4

−½x ≤ 7/4 − 5

−½x ≤ −13/4

Vermenigvuldig met −2 → teken draait om!

x ≥ 13/2

V = [13/2, +∞[

Intervalnotatie

De oplossingenverzameling schrijven we als een interval:

[a, b] — gesloten interval: a ≤ x ≤ b (a en b horen erbij)
]a, b[ — open interval: a < x < b (a en b horen er NIET bij)
[a, b[ — halfopen: a ≤ x < b
]a, b] — halfopen: a < x ≤ b
[a, +∞[ — x ≥ a (oneindig altijd met open haakje)
]−∞, b] — x ≤ b (oneindig altijd met open haakje)

Grafische voorstelling op de getallenas

● gesloten bolletje = het getal hoort erbij (≤ of ≥)
○ open bolletje = het getal hoort er niet bij (< of >)

Voorbeelden op de getallenas

x ≥ 3 → V = [3, +∞[ ●======>
3

x < −1 → V = ]−∞, −1[ <======○
−1

2 ≤ x < 7 → V = [2, 7[ ●======○
2 7

Oefeningen

Vul je antwoord in en krijg stap-voor-stap feedback (reeks 1 + reeks 2-3)

Hoe typ je wiskundige symbolen?

Machten:	typ `3^2` voor 3² of typ gewoon het resultaat: `9`
Wortels:	typ `6V2` of `6sqrt2` voor 6√2
Pi:	typ `pi` voor π
Breuken:	typ `1/4` of `0.25`
Intervallen:	typ `x > 3` of `]3, +inf[`

0 / 15 beantwoord