Interactieve cursus Wiskunde — 3de jaar (5u) | Sint-Jozefsinstituut College Torhout
Wat is statistiek, en welke woordenschat heb je nodig?
Statistiek is de wetenschap en techniek van het verzamelen, bewerken, interpreteren en presenteren van gegevens. Met cijfers, grafieken en tabellen krijg je inzicht in een grote groep mensen, dieren of voorwerpen.
Een onderzoek opstarten: enquête, meten, tellen, kijken…
De resultaten beschrijven en voorstellen in tabellen en grafieken.
Een juist besluit trekken uit het onderzoek.
Slaat op stap 1 en 2: gegevens verzamelen en ordenen. Dit hoofdstuk gaat hierover.
Slaat op stap 3: besluiten trekken. Hiervoor heb je de kansrekening nodig.
Populatie = de volledige verzameling personen, dieren of objecten waarvan je een kenmerk wil onderzoeken.
Steekproef = het deel van de populatie waarvoor je de waarnemingen echt uitvoert.
Variabele = het kenmerk dat je nagaat. De variabele krijgt waarden (of waarnemingsgetallen).
Je deelt variabelen eerst in twee groepen, en die elk nog eens in twee:
Variabelen waarmee je kunt rekenen (getallen)
Variabelen waarmee je niet kunt rekenen (eigenschap/naam)
Frequentietabellen en grafische voorstellingen.
Absolute frequentie (afi of ni) = het aantal waarnemingen gelijk aan die waarde.
Relatieve frequentie rfi = afi / n (n = steekproefgrootte). De som van alle rfi is 1.
Relatieve frequentie in % = rfi · 100. De som is 100%.
Voorbeeld: 35 leerlingen, vervoermiddel geteld (turven):
| Variabele (xi) | afi | rfi | rfi % |
|---|---|---|---|
| fiets | 12 | 0,3429 | 34,3 % |
| bus | 8 | 0,2286 | 22,9 % |
| trein | 5 | 0,1429 | 14,3 % |
| auto | 4 | 0,1143 | 11,4 % |
| te voet | 6 | 0,1714 | 17,1 % |
| n | 35 | 1 | 100 % |
De absolute frequenties als staafjes.
Relatieve frequenties als cirkelsectoren.
Relatieve frequenties als rechthoeken naast elkaar.
Cumulatieve absolute frequentie (cafi) = som van alle af van de waarden kleiner dan of gelijk aan die waarde. Je telt dus van boven naar onder op.
Cumulatieve relatieve frequentie (crfi) = cafi / n.
| xi | afi | cafi | crfi % |
|---|---|---|---|
| 5 | 25 | 25 | 19,2 % |
| 10 | 29 | 54 | 41,5 % |
| 15 | 46 | 100 | 76,9 % |
| 20 | 22 | 122 | 93,8 % |
| 25 | 8 | 130 | 100 % |
Lees af: 100 waarnemingen zijn ≤ 15. Dus 100 personen antwoordden 5, 10 of 15.
Eén getal dat ongeveer "het midden" van de gegevens aangeeft: gemiddelde, modus en mediaan.
x̄ = (x1 + x2 + … + xn) / n
x̄ = (n1x1 + n2x2 + … + npxp) / n = (Σ xi·ni) / n
Het waarnemingsgetal met de grootste absolute frequentie (komt het vaakst voor).
Twee toppen = bimodaal. Vanaf 3 toppen spreek je niet meer van een modus. De modus wordt niet beïnvloed door uitschieters.
Rangschik van klein naar groot; de mediaan is de middelste waarde. 50% ligt eronder, 50% erboven.
Minder gevoelig voor uitschieters dan het gemiddelde.
rangnummer = (19+1)/2 = 10 → Me = de 10de waarde = 25°
rangnummer = (20+1)/2 = 10,5 → Me = (waarde 10 + waarde 11)/2 = (25°+30°)/2 = 27,5°
De drie kwartielen verdelen de geordende rij in vier even grote delen.
Mediaan van de eerste helft. 25% ligt eronder.
De mediaan zelf. 50% ligt eronder.
Mediaan van de tweede helft. 75% ligt eronder.
Sleep de uitschieter en bekijk hoe het gemiddelde meebeweegt, terwijl de mediaan bijna stabiel blijft. Precies daarom kiest men bij scheve data vaak de mediaan.
Vaste waarden: 4, 5, 6, 6, 7, 8 — plus één verschuifbare waarde.
Centrummaten alleen volstaan niet. Twee reeksen kunnen hetzelfde gemiddelde hebben maar heel anders gespreid zijn.
R = max − min
Heel ruw: gebruikt enkel de twee uiterste waarden.
IKA = Q3 − Q1
Spreiding van de middelste 50%. Ongevoelig voor uitschieters.
De variantie meet hoe sterk de getallen rond het gemiddelde gespreid liggen: het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen.
σ² = [ (x1−x̄)² + (x2−x̄)² + … + (xn−x̄)² ] / n
σ² = [ n1(x1−x̄)² + … + np(xp−x̄)² ] / n
σ = √σ²
1. Gemiddelde: x̄ = (1+3+3+4+6+7)/6 = 4,0
2. Afwijkingen t.o.v. 4: −3, −1, −1, 0, 2, 3
3. Kwadraten: 9, 1, 1, 0, 4, 9
4. Variantie: σ² = (9+1+1+0+4+9)/6 = 24/6 = 4,0
5. Standaardafwijking: σ = √4 = 2,0
Een grafische voorstelling van de 7 kengetallen — ideaal om steekproeven te vergelijken.
Een boxplot toont samen: het minimum, Q1, de mediaan (Q2), Q3 en het maximum (en dus ook variatiebreedte en IKA). Elk van de vier stukken bevat 25% van de gegevens.
Vorm van de verdeling, uitschieters, clusters en hoe grafieken je kunnen bedriegen.
Mediaan ≈ gemiddelde, beide in het midden.
Staart rechts. Gemiddelde ligt aan de kant van de staart (rechts van de mediaan).
Staart links. Gemiddelde ligt aan de kant van de staart (links van de mediaan).
Gegevens die ver van de rest liggen. Gevolg van een fout (bv. defect materiaal) of van een uitzonderlijke situatie. Goed zichtbaar in een grafiek.
Een groep elementen met één of meer dezelfde kenmerken. Bij clusters hebben gemiddelde en mediaan weinig betekenis.
Hetzelfde verschil (50% → 43%) lijkt links veel groter dan rechts, puur door de afgeknotte as.
Punten op de horizontale as weglaten zodat een grillig verloop een nette stijging lijkt. Een tijdas moet een gelijkmatig interval hebben zonder ontbrekende punten.
Jaartallen door elkaar (2005, 2010, 2020, 2000, 2015) wekken een verkeerde indruk. De tijd moet chronologisch en in gelijke stappen staan.
Twee variabelen tegelijk: bestaat er een verband? Spreidingsdiagram, regressierechte en correlatiecoëfficiënt.
Elke meting wordt een punt (x, y). De verzameling punten heet de puntenwolk. Hieruit lees je het soort verband af.
Grote x ↔ grote y. Stijgende trendlijn.
Grote x ↔ kleine y. Dalende trendlijn.
De regressierechte (trendlijn, y = ax + b) is de rechte die de puntenwolk het best benadert. Je gebruikt ze voor voorspellingen.
De richting volgt uit de rico a: positieve a → stijgend (positief verband), negatieve a → dalend (negatief verband).
De sterkte hangt af van hoe dicht de punten op de rechte liggen.
−1 ≤ r ≤ 1. Hoe dichter |r| bij 1, hoe sterker het lineair verband. Hoe dichter bij 0, hoe zwakker. (Bereken je met Excel.)
| r | Betekenis |
|---|---|
| r = 1 | Perfecte positieve correlatie |
| r ≈ 0,8 | Sterke positieve correlatie |
| r ≈ 0,3 | Zwakke positieve correlatie |
| r = 0 | Geen lineair verband |
| r ≈ −0,3 | Zwakke negatieve correlatie |
| r ≈ −0,8 | Sterke negatieve correlatie |
| r = −1 | Perfecte negatieve correlatie |
Test je kennis met een interactieve quiz over het hele hoofdstuk.
0 / 0 beantwoord
Centrummaten, spreidingsmaten, boxplot en correlatie in kleurcode, met de grootste examen-instinkers. Print en leg naast je rekenmachine.
Print de PDF's hieronder en laat je dochter zelfstandig werken (50 min). Het oplossingenblad voor de ouder bevat de volledige uitwerking + socratische hulpvragen om bij te sturen zonder het antwoord weg te geven.
10 vragen · 40 punten · 50 min
Frequentietabellen, centrum- & spreidingsmaten, boxplot, correlatie.
PDF — printbaar A4
Score-overzicht, volledige uitwerking per vraag, socratische hulpvragen + veelgemaakte fouten.
PDF — print enkel als je hulp nodig hebt
Zelfde stof, maar met meer gewicht op soort variabele (nominaal/ordinaal), scheve verdelingen vanaf een grafiek, “precies vs cumulatief” en “aantal vs procent”.
10 vragen · 40 punten · 50 min
Met o.a. een linksscheve grafiek, een nominaal/ordinaal-tabel en precies-vs-cumulatief vragen.
PDF — printbaar A4
Score-overzicht, volledige uitwerking per vraag, socratische hulpvragen + veelgemaakte fouten.
PDF — print enkel als je hulp nodig hebt
| Begrip | Symbool | Formule / betekenis |
|---|---|---|
| Absolute frequentie | afi / ni | aantal keer dat een waarde voorkomt |
| Relatieve frequentie | rfi | afi / n |
| Cumul. absolute freq. | cafi | som van af tot en met die waarde |
| Gemiddelde | x̄ | (Σ xi·ni) / n |
| Modus | Mo | waarde met grootste af |
| Mediaan | Me | middelste waarde (rangnummer (n+1)/2) |
| Kwartielen | Q1, Q2, Q3 | verdelen in 4 gelijke delen |
| Variatiebreedte | R | max − min |
| Interkwartielafstand | IKA | Q3 − Q1 |
| Variantie | σ² | gemiddelde van kwadratische afwijkingen |
| Standaardafwijking | σ | √σ² |
| Correlatiecoëfficiënt | r | −1 ≤ r ≤ 1 (sterkte lineair verband) |