← Terug naar πŸ“ overzicht

Hoofdstuk 10 β€” Stelsels

Cartesische vergelijkingen, twee rechten die samenkomen, en drie manieren om een stelsel op te lossen β€” stap voor stap

0

Herhaling β€” Rico van een eerstegraadsfunctie

Vier manieren om de richtingscoΓ«fficiΓ«nt te bepalen β€” onmisbare voorkennis

Wat moet je kennen?

Voor stelsels moet je vlot werken met eerstegraadsfuncties. De rico (richtingscoΓ«fficiΓ«nt) is de helling van de rechte. Je kunt hem op vier manieren bepalen:

πŸ“š
Volledige uitleg en oefeningen vind je in het hoofdstuk Eerstegraadsfuncties. Hieronder een snelle herhaling.

Manier 1 β€” Uit het functievoorschrift

Bij een functie van de vorm f(x) = ax + b is a de rico.

Voorbeeld

f(x) = 3x + 4 → rico = 3

f(x) = −5x + 12 → rico = −5

f(x) = (1/2)x → rico = 1/2

Manier 2 β€” Uit de grafiek (twee mooie punten kiezen)

Kies twee duidelijke roosterpunten op de rechte en bereken:

rico = Δy / Δx = (y2 − y1) / (x2 − x1)
O(0,0) P(1,−2) Δx=1 Δy=−2
rico = (−2 − 0) / (1 − 0) = −2

Manier 3 β€” Via twee gegeven punten

Heb je twee punten A(x1, y1) en B(x2, y2)? Pas dezelfde formule toe:

Voorbeeld

A(−1, 0) en B(0, −2):

a = (−2 − 0) / (0 − (−1)) = −2 / 1 = −2

Functievoorschrift: f(x) = −2x − 2 (b = −2 want de lijn snijdt y-as op −2)

Manier 4 β€” Via de hellingshoek α

Als je de hoek α kent die de rechte met de positieve x-as maakt:

rico = tan(α)
Voorbeeld

Hellingshoek α = 72Β° → rico = tan(72Β°) ≈ 3,08

Maar let op: als de lijn daalt (van links naar rechts), dan is de rico negatief: rico ≈ −3,08.

πŸ’‘
Kijk altijd eerst of de lijn stijgt (rico > 0) of daalt (rico < 0) en pas eventueel een minteken toe.
1

Cartesische vergelijking van een rechte

Drie manieren om dezelfde rechte op te schrijven

Drie notaties β€” zelfde rechte

Een eerstegraadsfunctie kun je op drie manieren noteren. Het zijn verschillende vormen van dezelfde rechte.

NaamVoorbeeld
Functievoorschriftf(x) = 2x + 7
Functievergelijkingy = 2x + 7
Cartesische vergelijking−2x + y − 7 = 0

Bij de cartesische vergelijking staat alles links van het =-teken en rechts staat 0. Alle x- en y-termen worden naar één kant verplaatst.

Algemene vorm

Cartesische vergelijking van een rechte

r: ux + vy + w = 0

met u, v, w ∈ ℝ

Voorwaarde: u en v mogen niet tegelijk gelijk zijn aan 0.

⚠️
Als u = 0 Γ©n v = 0, dan blijft alleen w = 0 over β€” dat is geen vergelijking van een rechte meer.

Van functievoorschrift → cartesische vergelijking

Werk in 3 stappen:

Schrijf f(x) als y.
Verplaats alles naar één kant zodat = 0 rechts staat.
Werk eventueel breuken weg door alles te vermenigvuldigen.
Uitgewerkt voorbeeld

f(x) = 2x + 7

y = 2x + 7
0 = 2x − y + 7
⇒ r: 2x − y + 7 = 0

(Je mag ook schrijven: −2x + y − 7 = 0 β€” beide zijn correct.)

Van cartesische vergelijking → functievoorschrift

Hier doe je het omgekeerde: isoleer y.

Uitgewerkt voorbeeld

r: 3x + 2y − 6 = 0

2y = −3x + 6
y = (−3/2)x + 3
⇒ f(x) = (−3/2)x + 3

De rico is −3/2 en de lijn snijdt de y-as in (0, 3).

⚠️ Verticale rechte β€” speciaal geval!

Belangrijk om te onthouden

Voor een verticale rechte (// y-as, vorm x = k):

  • De richtingscoΓ«fficiΓ«nt is NIET gedefinieerd (geen rico!)
  • Er is GEEN snijpunt met de y-as
  • Het snijpunt met de x-as is Sx(k, 0)
  • Deze rechte is geen grafiek van een functie (één x-waarde geeft oneindig veel y)
Voorbeeld

Voor twee punten A(−4, 1) en B(−4, 5):

Ξ”x = −4 − (−4) = 0 → rico = Ξ”y/0 = niet gedefinieerd

De rechte heeft vergelijking x = −4 → cartesisch: x + 4 = 0.

πŸ’‘
Wanneer je rico moet berekenen voor twee punten met dezelfde x-coΓΆrdinaat, schrijf dan: "rico is niet gedefinieerd want Ξ”x = 0". Dit telt vaak voor de punten op een examen!

Snijpunten met de assen berekenen

Bij elke cartesische vergelijking kun je snijpunten met de x-as en y-as berekenen:

Snijpunt met y-as: Sy

Vul x = 0 in en bereken y.

Bestaat NIET als de rechte // y-as is (x = k).

Snijpunt met x-as: Sx

Vul y = 0 in en bereken x.

Bestaat NIET als de rechte // x-as is (y = b β‰  0).

Voorbeeld 1 β€” schuine rechte

r: 3x + 2y − 6 = 0

x = 0: 2y − 6 = 0 → y = 3 → Sy(0, 3)
y = 0: 3x − 6 = 0 → x = 2 → Sx(2, 0)
Voorbeeld 2 β€” door oorsprong

q: 4x − 2y = 0 (door oorsprong, w = 0)

x = 0 β†’ −2y = 0 β†’ y = 0; y = 0 β†’ 4x = 0 β†’ x = 0.

Beide snijpunten vallen samen in O(0, 0) β€” de oorsprong.

Voorbeeld 3 β€” // y-as

s: 3x − 9 = 0 → x = 3

Sx(3, 0); geen Sy (verticale lijn snijdt y-as nooit, tenzij ze samenvalt met de y-as).

Voorbeeld 4 β€” // x-as

t: 2y − 4 = 0 → y = 2

Sy(0, 2); geen Sx (horizontale lijn snijdt x-as nooit, tenzij y = 0).

2

4 soorten rechten

Afhankelijk van de waarden van u, v en w krijg je een ander type rechte

Overzicht

Bekijk in r: ux + vy + w = 0 welke coΓ«fficiΓ«nten nul zijn:

β‘  Door de oorsprong

u ≠ 0
v ≠ 0
w = 0
r: ux + vy = 0
vb: 5x + 3y = 0

β‘‘ Schuin (gewoon)

u ≠ 0
v ≠ 0
w ≠ 0
r: ux + vy + w = 0
vb: −3x + 4y − 6 = 0

β‘’ Evenwijdig // x-as

u = 0
v ≠ 0
w ≠ 0
r: vy + w = 0
vb: 7y + 3 = 0

β‘£ Evenwijdig // y-as

u ≠ 0
v = 0
w ≠ 0
r: ux + w = 0
vb: −8x − 5 = 0

Hoe ze er uitzien β€” visueel

Door oorsprong Schuin // x-as // y-as

Voorbeeld β€” type herkennen

5x + 3y = 0

u=5, v=3, w=0 → door oorsprong

y isoleren: y = (−5/3)x → lijn door (0,0).

7y + 3 = 0

u=0, v=7, w=3 → // x-as

y isoleren: y = −3/7 → horizontale lijn.

−8x − 5 = 0

u=−8, v=0, w=−5 → // y-as

x isoleren: x = −5/8 → verticale lijn.

−3x + 4y − 6 = 0

u, v, w allemaal ≠ 0 → schuine rechte

y = (3/4)x + 3/2 → gewone schuine lijn.

3

Cartesische vergelijking opstellen

Vier situaties β€” telkens een vast stappenplan

Algemene aanpak

Het stappenplan is bijna altijd hetzelfde:

Bepaal de rico (a) en de b-waarde.
Noteer de functievergelijking y = ax + b.
Vorm om naar de cartesische vergelijking (= 0).
Werk eventuele breuken weg.

Hieronder behandelen we vier specifieke situaties.

Situatie A β€” Rechte door de oorsprong

Je weet: de rechte gaat door O(0, 0) en door één gegeven punt.

Voorbeeld

Stel de cartesische vergelijking op van de rechte door O(0, 0) en P(4, 3).

a = (3 − 0) / (4 − 0) = 3/4
b = 0 (gaat door oorsprong)
y = (3/4)x
Cart.: −(3/4)x + y = 0 → (Γ— 4) → −3x + 4y = 0

Situatie B β€” Rechte door 2 gegeven punten

Je krijgt twee punten P(x1, y1) en Q(x2, y2) die niet noodzakelijk in de oorsprong liggen.

Voorbeeld

P(−3, 2) en Q(1, 8)

a = (8 − 2) / (1 − (−3)) = 6 / 4 = 3/2
Vul P in: 2 = (3/2)Β·(−3) + b → 2 = −9/2 + b → b = 2 + 9/2 = 13/2
y = (3/2)x + 13/2
Cart.: −(3/2)x + y − 13/2 = 0 → (Γ— 2) → −3x + 2y − 13 = 0

Situatie C β€” Rechte evenwijdig met de x-as

Een horizontale rechte heeft de vorm y = constante. Alle punten op de lijn hebben dezelfde y-coΓΆrdinaat.

Bepaal de gemeenschappelijke y-waarde uit de gegeven punten.
Noteer y = (die waarde).
Vorm om: y − (waarde) = 0.
Voorbeeld

P(−3, 4) en Q(1, 4) β€” beide hebben y = 4.

y = 4
Cart.: y − 4 = 0

Situatie D β€” Rechte evenwijdig met de y-as

Een verticale rechte heeft de vorm x = constante. Alle punten op de lijn hebben dezelfde x-coΓΆrdinaat.

Bepaal de gemeenschappelijke x-waarde uit de gegeven punten.
Noteer x = (die waarde).
Vorm om: x − (waarde) = 0.
Voorbeeld

P(6, 4) en Q(6, −3) β€” beide hebben x = 6.

x = 6
Cart.: x − 6 = 0
πŸ’‘
Een verticale rechte kan je niet als f(x) = ax + b schrijven β€” er is voor één x-waarde geen unieke f(x). Gebruik daarom enkel de cartesische vorm.

Situatie E β€” Rico (a) + 1 gegeven punt

Heel handig en sneller dan via 2 punten: je krijgt direct de rico en één punt waar de rechte doorgaat.

Rico is al gegeven β€” schrijf y = ax + b.
Vul de coΓΆrdinaten van het gegeven punt in om b te berekenen.
Schrijf de functievergelijking en zet om naar cartesische vorm.
Werk eventuele breuken weg.
Uitgewerkt voorbeeld

De rechte r heeft rico = −5 en gaat door R(8, −4).

a = −5 β†’ y = −5x + b
Vul R(8, −4) in: −4 = −5Β·8 + b β†’ −4 = −40 + b β†’ b = 36
y = −5x + 36
Cart.: 5x + y − 36 = 0

Situatie F β€” Evenwijdig met een gegeven rechte + 1 punt

Twee evenwijdige rechten hebben dezelfde rico. Dat is dΓ© sleutel.

Bepaal de rico van de gegeven rechte (door om te schrijven naar y = ax + b).
De gezochte rechte heeft dezelfde rico.
Vul het gegeven punt in om b te berekenen β€” dan verder zoals situatie E.
Uitgewerkt voorbeeld

Stel de cartesische vergelijking op van de rechte r die evenwijdig is met s: 2x − y + 1 = 0 en door S(4, −1) gaat.

s: 2x − y + 1 = 0 β†’ y = 2x + 1 β†’ rico s = 2
r heeft ook rico = 2 β†’ y = 2x + b
Vul S(4, −1) in: −1 = 2Β·4 + b β†’ b = −9
y = 2x − 9 β†’ cart.: 2x − y − 9 = 0
4

Stelsels grafisch oplossen

Twee rechten samen: waar snijden ze elkaar?

Wat is een stelsel?

Definitie

Een stelsel is een samenvoeging van twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden.

Notatie (met accolade { ):

u1x + v1y + w1 = 0 u2x + v2y + w2 = 0

met u1, u2, v1, v2, w1, w2 ∈ ℝ en u, v niet tegelijk 0 in elke vergelijking.

Wat is een oplossing?

Een oplossing is een koppel reΓ«le getallen (x, y) dat aan beide vergelijkingen voldoet.

Grafisch: Bepaal het snijpunt van de twee rechten die bij de gegeven eerstegraadsvergelijkingen horen.

🎯
Elke vergelijking is een rechte. Het stelsel oplossen = het snijpunt vinden.

Stappenplan grafisch oplossen

Schrijf elke vergelijking om naar de vorm y = ax + b (functievergelijking).
Teken beide rechten op één assenstelsel (gebruik bv. snijpunten met de assen).
Lees het snijpunt af.
Noteer de oplossing als koppel (x, y).

Aantal oplossingen β€” drie gevallen

Hoe twee rechten elkaar snijden bepaalt hoeveel oplossingen het stelsel heeft.

Geval Aantal oplossingen
β‘  Snijdende rechten (verschillende rico) 1 oplossing β€” namelijk het snijpunt
β‘‘ Strikt evenwijdige rechten (zelfde rico, verschillende b) geen oplossingen
β‘’ Samenvallende rechten (zelfde rico Γ©n zelfde b) oneindig veel oplossingen
Snijdend snijpunt 1 oplossing Strikt evenwijdig geen oplossing Samenvallend oneindig veel

Voorbeeld β€” snijpunt grafisch zoeken

y = x + 1 y = −x + 5

Beide rechten tekenen en aflezen waar ze snijden:

y=x+1 y=−x+5 S(2, 3)

De rechten snijden in (2, 3). Controle: 2 + 1 = 3 βœ“ en −2 + 5 = 3 βœ“

⚠️
Grafisch is leuk voor een snel beeld, maar voor exacte oplossingen (vooral met breuken) zijn de algebraΓ―sche methodes uit Β§5 nauwkeuriger.

⚑ Stelsels met verticale of horizontale rechten

Als één (of beide) van de vergelijkingen alleen x Γ³f alleen y bevat, is het stelsel extra makkelijk op te lossen β€” vaak zonder formele methode!

Voorbeeld 1 β€” verticaal + schuin
x + 2 = 0 x + 2y = 0

Vgl 1 geeft direct x = −2 (verticale rechte).

Vul in vgl 2: −2 + 2y = 0 β†’ 2y = 2 β†’ y = 1.

Oplossing: S(−2, 1).

Voorbeeld 2 β€” verticaal + horizontaal
x + 2 = 0 y − 1 = 0

Vgl 1: x = −2. Vgl 2: y = 1.

Oplossing: S(−2, 1) β€” direct af te lezen!

De rechten staan loodrecht op elkaar (één // x-as, andere // y-as).

Voorbeeld 3 β€” beide door oorsprong
−2x − 4y = 0 x − 2y = 0

Beide rechten gaan door de oorsprong (w = 0 in beide). Hebben ze dezelfde rico?

Vgl 1: y = −x/2 (rico = −1/2). Vgl 2: y = x/2 (rico = 1/2).

Verschillende rico's β†’ snijdend β†’ het enige gemeenschappelijke punt is O(0, 0).

Oplossing: S(0, 0).

πŸ’‘
Truc: Bij stelsels met x = k of y = b, vul je die direct in de andere vergelijking in. Geen substitutie of combinatie nodig!
5

Stelsels algebraΓ―sch oplossen

Drie methodes β€” kies de handigste voor het stelsel dat je voor je hebt

Drie methodes β€” overzicht

1. Gelijkstelling

Zet beide vergelijkingen in de vorm y = … en stel ze gelijk.

2. Substitutie

Isoleer één onbekende en vul ze in de andere vergelijking in.

3. Combinatie

Vermenigvuldig zo dat één onbekende wegvalt bij optellen.

Methode 1 β€” Gelijkstellingsmethode

(Niet in het boek, maar zeer intuΓ―tief β€” vaak de eenvoudigste startmethode.)

Stappenplan

Isoleer in beide vergelijkingen dezelfde onbekende (meestal y).
Stel beide uitdrukkingen gelijk aan elkaar (zo krijg je een vergelijking met één onbekende).
Los die vergelijking op.
Vul de gevonden waarde in een van de oorspronkelijke vergelijkingen in.
Bereken de tweede onbekende.
Noteer de oplossing als koppel S(x, y).
Uitgewerkt voorbeeld
y = 2x + 4 3y − 27x + 9 = 0
Eerste vergelijking is al opgelost naar y: y = 2x + 4. Tweede: 3y = 27x − 9 → y = 9x − 3.
Gelijkstellen: 2x + 4 = 9x − 3
2x − 9x = −3 − 4 → −7x = −7 → x = 1
Vul x = 1 in y = 2x + 4: y = 2Β·1 + 4 = 6
Oplossing: S(1, 6)

Methode 2 β€” Substitutiemethode

Stappenplan

Isoleer in één van de vergelijkingen één onbekende.
Vervang deze onbekende in de andere vergelijking, zodat je een vergelijking krijgt met één onbekende.
Los die vergelijking op.
Vul de gevonden waarde in een van de vergelijkingen in.
Bereken de tweede onbekende.
Noteer de oplossing.
Uitgewerkt voorbeeld
4x − 3y = 46 2x + y = 18
Schrijf om: 4x − 3y − 46 = 0 en 2x + y − 18 = 0. Isoleer y in vgl 2: y = −2x + 18
Vul in vgl 1: 4x − 3(−2x + 18) − 46 = 0
4x + 6x − 54 − 46 = 0 → 10x = 100 → x = 10
y = −2Β·10 + 18 = −2
Oplossing: S(10, −2)

Methode 3 β€” Combinatiemethode (eliminatie)

Stappenplan

Vermenigvuldig de beide vergelijkingen met een getal, zodat de coëfficiënten van één onbekende tegengesteld worden.
Tel de overeenkomstige termen op → één onbekende valt weg, je krijgt een vergelijking met één onbekende.
Los die vergelijking op.
Vul de gevonden waarde in een van de vergelijkingen in.
Bereken de tweede onbekende.
Noteer de oplossing.
Uitgewerkt voorbeeld
3x + 4y = 7 −x + 2y = −9
Vermenigvuldig vgl 2 met 3 zodat x-coΓ«fficiΓ«nten tegengesteld worden:
vgl 1: 3x + 4y = 7
vgl 2 Γ— 3: −3x + 6y = −27
Optellen: (3x − 3x) + (4y + 6y) = 7 + (−27) → 10y = −20
y = −2
Vul in vgl 1: 3x + 4Β·(−2) = 7 → 3x − 8 = 7 → 3x = 15 → x = 5
Oplossing: S(5, −2)
πŸ’‘
Bij combinatie is het soms handig om beide vergelijkingen te vermenigvuldigen (bv. vgl 1 Γ— 2 en vgl 2 Γ— 3) om mooie tegengestelde coΓ«fficiΓ«nten te krijgen.

βš™οΈ VΓ³Γ³r je oplost: vereenvoudig eerst!

Stelsels worden vaak gegeven in een onhandige vorm met haakjes, breuken of decimale getallen. Werk die eerst weg, dan pas oplossen.

Voorbeeld 1 β€” haakjes wegwerken
y = 2x − 3 4x − (y + 3) = 5

Stap 1: Werk haakjes weg in vgl 2: 4x − y − 3 = 5 β†’ 4x − y = 8.

Stap 2: Substitutie: 4x − (2x − 3) = 8 β†’ 4x − 2x + 3 = 8 β†’ 2x = 5 β†’ x = 5/2.

Stap 3: y = 2Β·(5/2) − 3 = 2.

Oplossing: S(5/2, 2).

Voorbeeld 2 β€” breuken wegwerken
(1/2)x − (1/3)y = 3 (1/4)x = 1 − y

Vgl 1 Γ— 6: 3x − 2y = 18.

Vgl 2 Γ— 4: x = 4 − 4y β†’ x + 4y = 4.

Nieuw stelsel zonder breuken:

3x − 2y = 18 x + 4y = 4

Combinatie: vgl 2 Γ— (−3) β†’ −3x − 12y = −12. Optellen met vgl 1: −14y = 6 β†’ y = −3/7.

x = 4 − 4Β·(−3/7) = 4 + 12/7 = 40/7.

Oplossing: S(40/7, −3/7).

Voorbeeld 3 β€” decimale getallen
0,4x − y = 0,3 0,2x + 0,5y = 1

Γ— 10 voor elke vergelijking:

4x − 10y = 3 2x + 5y = 10

Nu makkelijk op te lossen met combinatie of substitutie. Vgl 2 Γ— 2 = 4x + 10y = 20. Optellen: 8x = 23 β†’ x = 23/8. Dan y = (10 βˆ’ 2Β·(23/8))/5 = 17/20.

πŸ’‘
Vuistregel: Vermenigvuldig elke vergelijking met de kleinste gemene veelvoud van alle noemers/decimalen. Dan heb je hele getallen om mee te werken.
6

Welke methode kies je?

Een paar vuistregels om snel de handigste methode te kiezen

Beslisboom

πŸ€” Welke methode is hier handig?

  • Beide vergelijkingen al in vorm y = … → gebruik gelijkstelling.
  • EΓ©n onbekende heeft coΓ«fficiΓ«nt 1 of −1 (makkelijk te isoleren) → gebruik substitutie.
  • De coΓ«fficiΓ«nten staan al "mooi" (zelfde of tegengesteld) → gebruik combinatie.
  • Geen van bovenstaande → combinatie werkt altijd, gewoon vermenigvuldigen.

Drie zelfde stelsels β€” drie methodes

Bekijk hoe hetzelfde stelsel met de drie methodes wordt opgelost om een gevoel te krijgen voor wanneer welke methode "vlot" is.

x + y = 5 2x − y = 1

Gelijkstelling

y = 5 − x
y = 2x − 1
5 − x = 2x − 1
6 = 3x → x = 2
y = 3

Substitutie

y = 5 − x
2x − (5 − x) = 1
3x − 5 = 1
x = 2
y = 3

Combinatie

x + y = 5
2x − y = 1
β€”β€”β€”β€”β€”β€” +
3x = 6 → x = 2
y = 3

⭐
Bij dit stelsel werkt combinatie het snelst β€” y valt direct weg bij optellen. Zoek altijd eerst naar de meest efficiΓ«nte aanpak.

Aantal oplossingen herkennen tijdens het oplossen

Soms krijg je tijdens het uitwerken een vreemde vergelijking. Dat geeft meteen het aantal oplossingen weg:

Resultaat Wat betekent het?
x = getal, y = getal 1 oplossing β€” snijdende rechten
0 = getal ≠ 0 (bv. 0 = 5) geen oplossing β€” strikt evenwijdig
0 = 0 (een waar gelijkheid) oneindig veel oplossingen β€” samenvallend
7

Parameters β€” vergelijkingen met letters

5u-niveau Β· Wat als de vergelijking een onbekende letter (m, a, p, ...) bevat?

Wat zijn parametervergelijkingen?

Een parameter is een letter (vaak m, p, a, b, …) die nog onbekend is. Door een specifieke waarde aan de parameter te geven, krijg je een specifieke rechte of stelsel.

Voorbeeld: in r: 4x + 2y + m = 0 is m de parameter. Voor m = 0 krijg je een rechte door de oorsprong, voor m = −6 krijg je een andere rechte, enz.

🎯
De vraag is meestal: "voor welke waarde van m wordt aan een bepaalde voorwaarde voldaan?" (bv. punt op rechte, evenwijdig, geen oplossing van stelsel...)

Type 1 β€” Voor welke m ligt punt P op rechte r?

Werkwijze: vul de coΓΆrdinaten van P in de vergelijking in en los op naar m.

Voorbeeld

Voor welke m ligt het punt (1, 3) op de rechte s: 4x + 2y + m = 0?

Vul (x, y) = (1, 3) in: 4Β·1 + 2Β·3 + m = 0
4 + 6 + m = 0 β†’ 10 + m = 0
m = −10

Voor m = −10 wordt s: 4x + 2y − 10 = 0 en (1, 3) ligt erop. βœ“

Type 2 β€” Voor welke m gaat de rechte door de oorsprong?

Werkwijze: een rechte gaat door O(0, 0) als w = 0 in ux + vy + w = 0.

Vul (0, 0) in en los op naar m.

Voorbeeld

Voor welke m gaat de rechte s: 4x + 2y + m = 0 door de oorsprong?

Vul (0, 0) in: 4Β·0 + 2Β·0 + m = 0 β†’ m = 0

Type 3 β€” Voor welke m is de rechte // x-as?

Werkwijze: een rechte is // x-as als u = 0 (geen x-term) en v β‰  0.

Stel de coΓ«fficiΓ«nt van x gelijk aan 0 en los op.

Voorbeeld

Voor welke m is p: (m − 1)x + (m + 1)y − 3(m + 3) = 0 evenwijdig met de x-as?

u = 0: m − 1 = 0 β†’ m = 1
Controle: voor m = 1 wordt p: 0Β·x + 2y − 12 = 0 β†’ 2y = 12 β†’ y = 6.
Dat is een horizontale rechte βœ“ (en v = 2 β‰  0, dus geen "lege" vergelijking).
⚠️
Controleer altijd dat v β‰  0 bij die m-waarde, anders heb je geen geldige rechte!

Type 4 β€” Voor welke m is de rechte // y-as?

Werkwijze: v = 0 (geen y-term) en u β‰  0.

Voorbeeld

Voor welke m is p: (m − 1)x + (m + 1)y − 3(m + 3) = 0 evenwijdig met de y-as?

v = 0: m + 1 = 0 β†’ m = −1
Controle: voor m = −1 wordt p: −2x + 0Β·y − 6 = 0 β†’ x = −3.

Type 5 β€” Voor welke m zijn 2 rechten evenwijdig?

Werkwijze: twee rechten zijn evenwijdig als ze dezelfde rico hebben. Stel de rico's gelijk en los op.

Voorbeeld

Voor welke m zijn k: 2x + 3y − 11 = 0 en l: mx − 6y − 6 = 0 evenwijdig?

Rico k: 3y = −2x + 11 β†’ y = (−2/3)x + 11/3 β†’ rico = −2/3
Rico l: −6y = −mx + 6 β†’ y = (m/6)x − 1 β†’ rico = m/6
Stel gelijk: m/6 = −2/3 β†’ m = −2/3 Β· 6 = −4
πŸ’‘
Truc zonder rico te berekenen: twee cart. vgl. u₁x + v₁y + w₁ = 0 en uβ‚‚x + vβ‚‚y + wβ‚‚ = 0 zijn evenwijdig (of samenvallend) als u₁/uβ‚‚ = v₁/vβ‚‚. Voor het voorbeeld: 2/m = 3/(−6) β†’ 2/m = −1/2 β†’ m = −4.

Type 6 β€” Voor welke m heeft het stelsel geen oplossing / oneindig veel?

Werkwijze:

  • Geen oplossing = strikt evenwijdige rechten = zelfde rico, andere b
  • Oneindig veel oplossingen = samenvallende rechten = zelfde rico Γ©n zelfde b
Voorbeeld 1 β€” geen oplossing

Voor welke m heeft het stelsel {y = −4x + 3 ; y = mx + 10} geen oplossing?

Geen oplossing β†’ zelfde rico: m = −4.
Controle: b's verschillen (3 β‰  10) βœ“ β†’ m = −4 geeft strikt evenwijdige rechten.
Voorbeeld 2 β€” oneindig veel oplossingen

Voor welke a en b heeft het stelsel {y = 2x + a ; y = bx + 5} oneindig veel oplossingen?

Samenvallend β†’ rico's gelijk: b = 2
EN b-waardes gelijk: a = 5
Voorbeeld 3 β€” verticaal geval

Voor welke m heeft {x − 2 = 0 ; 3x − my + 7 = 0} geen oplossing?

Vgl 1: x = 2 (verticale rechte).
Vgl 2 ook verticaal? Dan moet de coΓ«fficiΓ«nt van y nul zijn: m = 0.
Met m = 0 wordt vgl 2: 3x + 7 = 0 β†’ x = −7/3.
Verticale rechten met x = 2 en x = −7/3 zijn strikt evenwijdig β†’ geen oplossing βœ“.

πŸ“‹ Samenvatting van de 6 parametertypes

VraagWerkwijze
Punt P(xβ‚€, yβ‚€) op rechte?Vul (xβ‚€, yβ‚€) in vgl, los op naar m
Door oorsprong?w = 0 (vul (0,0) in)
// x-as?u = 0 (en v β‰  0)
// y-as?v = 0 (en u β‰  0)
Twee rechten evenwijdig?Stel rico's gelijk OF u₁/uβ‚‚ = v₁/vβ‚‚
Stelsel: geen oplossing?Zelfde rico, andere b
Stelsel: oneindig veel?Zelfde rico Γ©n zelfde b
8

Toepassingen β€” woordvraagstukken

Stelsels in de Γ©chte wereld: chips, thee, mengsels, breuken, getallen, meetkunde

πŸ“‹ Stappenplan voor woordvraagstukken

Lees zorgvuldig en zoek de twee onbekenden.
Geef ze namen: bv. x = aantal..., y = aantal...
Stel het stelsel op: meestal 1 vergelijking voor de aantallen, 1 voor een andere grootheid (prijs, gewicht, ...).
Los het stelsel op met een methode naar keuze.
Antwoord met zin en doe een controle.

Type A β€” Aantal & prijs (meerdere soorten)

Uitgewerkt voorbeeld

Christian koopt zakjes zoute chips (€0,42) en grillchips (€0,61). In totaal 23 zakjes voor €11,56. Hoeveel van elk?

Stelsel:

x + y = 23   (aantal) 0,42x + 0,61y = 11,56   (prijs)

Γ— 100 voor vgl 2: 42x + 61y = 1156.

Substitutie x = 23 βˆ’ y: 42(23 βˆ’ y) + 61y = 1156 β†’ 966 + 19y = 1156 β†’ 19y = 190 β†’ y = 10.

x = 23 βˆ’ 10 = 13. Antwoord: 13 zoute en 10 grillchips.

Type B β€” Aantal & gewicht (verpakking)

Uitgewerkt voorbeeld

In een winkelrek staan pakjes thee van 100 g en 250 g. Totaal 190 pakjes met massa 34 kg. Hoeveel van elk?

x + y = 190 100x + 250y = 34000   (in gram)

Vgl 2 Γ· 50: 2x + 5y = 680. Vgl 1 Γ— 2: 2x + 2y = 380. Aftrekken: 3y = 300 β†’ y = 100. x = 90.

Antwoord: 90 pakjes 100g en 100 pakjes 250g.

Type C β€” Mengsels met percentages

Uitgewerkt voorbeeld

Een chocolatier maakt 15 kg chocolade van 70% cacao uit twee soorten: 99% en 60%. Hoeveel van elk?

x = kg van 99%, y = kg van 60%.

x + y = 15   (totale massa) 0,99x + 0,60y = 0,70 Β· 15 = 10,5   (cacao-massa)

Γ— 100: 99x + 60y = 1050; 60x + 60y = 900. Aftrekken: 39x = 150 β†’ x = 150/39 β‰ˆ 3,85 kg. y β‰ˆ 11,15 kg.

πŸ’‘
Trucje voor mengsels: twee vergelijkingen β€” één voor de totale hoeveelheid, één voor de hoeveelheid van het bestanddeel (gewicht Γ— percentage).

Type D β€” Cijfers van een 2-cijferig getal verwisselen

Uitgewerkt voorbeeld

Een 2-cijferig getal heeft cijfersom 15. Wissel je de cijfers, dan is het nieuwe getal 27 minder dan het oude. Bereken het oorspronkelijk getal.

x = tiental, y = eenheden. Het oorspronkelijke getal is 10x + y, het omgewisselde is 10y + x.

x + y = 15 10y + x = (10x + y) βˆ’ 27

Vgl 2 vereenvoudigen: 10y + x βˆ’ 10x βˆ’ y = βˆ’27 β†’ βˆ’9x + 9y = βˆ’27 β†’ βˆ’x + y = βˆ’3 β†’ y = x βˆ’ 3.

Substitutie in vgl 1: x + (x βˆ’ 3) = 15 β†’ 2x = 18 β†’ x = 9, y = 6.

Oorspronkelijk getal: 96. Controle: 96 βˆ’ 69 = 27 βœ“ en 9 + 6 = 15 βœ“.

Type E β€” Breuken met aanpassing van teller/noemer

Uitgewerkt voorbeeld

Een breuk x/y. Tel je 2 bij de teller, dan is hij gelijk aan 1. Tel je 1 bij de noemer, dan is hij gelijk aan 5/6. Bereken de breuk.

(x + 2)/y = 1 x/(y + 1) = 5/6

Vgl 1 Γ— y: x + 2 = y β†’ x = y βˆ’ 2.

Vgl 2 Γ— 6(y+1): 6x = 5(y + 1) β†’ 6x = 5y + 5.

Substitutie: 6(y βˆ’ 2) = 5y + 5 β†’ 6y βˆ’ 12 = 5y + 5 β†’ y = 17, x = 15.

Breuk: 15/17.

Type F β€” Som / verschil van twee getallen

Uitgewerkt voorbeeld

De som van het vijfvoud van een eerste getal en het drievoud van een tweede getal is 264. Het tweede getal is het dubbele van het eerste. Bereken de getallen.

x = eerste getal, y = tweede getal.

5x + 3y = 264 y = 2x

Substitutie: 5x + 3Β·(2x) = 264 β†’ 11x = 264 β†’ x = 24, y = 48.

Type G β€” Vraag-en-aanbod (economisch evenwicht)

Uitgewerkt voorbeeld

De vraag naar appels: v: x + 10y βˆ’ 55 = 0. Het aanbod: a: x βˆ’ 20y + 5 = 0. (x = kg, y = €/kg). Bereken het evenwichtspunt.

Bij evenwicht is de vraag = aanbod, dus we lossen het stelsel op.

Vgl 1 βˆ’ vgl 2: (x βˆ’ x) + (10y βˆ’ (βˆ’20y)) βˆ’ 55 βˆ’ 5 = 0 β†’ 30y = 60 β†’ y = 2 €/kg.

x = 55 βˆ’ 10Β·2 = 35 kg. Evenwicht: 35 kg verkocht aan €2/kg.

Type H β€” Meetkundig (driehoek, oppervlakte, ...)

Uitgewerkt voorbeeld

In een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde 1,3 cm langer dan de andere. Verleng je de grootste met 2 cm en verkort je de kleinste met 0,6 cm, dan neemt de oppervlakte met 1,74 cmΒ² toe. Bereken de zijden.

x = grootste rechthoekszijde, y = kleinste. Oppervlakte = (x Β· y)/2.

x = y + 1,3 (x+2)(yβˆ’0,6)/2 = xy/2 + 1,74

Werk vgl 2 uit: (x + 2)(y βˆ’ 0,6) = xy + 3,48 β†’ xy βˆ’ 0,6x + 2y βˆ’ 1,2 = xy + 3,48 β†’ βˆ’0,6x + 2y = 4,68.

Substitutie x = y + 1,3: βˆ’0,6(y + 1,3) + 2y = 4,68 β†’ 1,4y βˆ’ 0,78 = 4,68 β†’ y = 3,9 cm, x = 5,2 cm.

Schuine zijde via Pythagoras: √(5,2² + 3,9²) = √42,25 = 6,5 cm.

🧠 Algemene tips voor woordvraagstukken

  • Onderstreep de getallen en grootheden in de tekst.
  • Maak een tabelletje met "wat weet ik?" en "wat zoek ik?".
  • Het zijn meestal 2 vergelijkingen: één voor het aantal/totaal, één voor de andere grootheid (prijs, gewicht, percentage, ...).
  • Let op eenheden: zorg dat alles in dezelfde eenheid staat (g vs kg, cent vs euro).
  • Doe altijd controle door je antwoord in de oorspronkelijke vraag terug te lezen.
β˜…

Oefeningen

Test alles wat je geleerd hebt β€” van cartesische vergelijkingen tot stelsels oplossen

Oefening 1 β€” Cartesische vorm opstellen

Schrijf de cartesische vergelijking (zonder breuken) in de vorm ... = 0:

a) f(x) = 4x + 5 →

b) f(x) = (1/2)x − 3 →

c) f(x) = −2x + 7 →

Verplaats alles naar één kant: y = ax + b → ax − y + b = 0 (of −ax + y − b = 0).
Werk breuken weg door alles te vermenigvuldigen met de noemer.
Schrijf in de vorm 4x-y+5=0 (zonder spaties).
Oefening 2 β€” Functievoorschrift afleiden

Schrijf elke cartesische vergelijking als y = ax + b (gebruik / voor breuken):

a) 6x + 2y − 8 = 0 → y =

b) −5x + y + 2 = 0 → y =

c) 4x − 8y + 16 = 0 → y =

Oefening 3 β€” Welk type rechte?

Geef voor elke vergelijking aan welk type rechte het is. Kies uit: oorsprong, schuin, x-as, y-as.

a) 7x + 2y = 0 →

b) 3y − 12 = 0 →

c) −4x + 5 = 0 →

d) 2x − 3y + 1 = 0 →

Oefening 4 β€” Vgl. door oorsprong

Stel de cartesische vergelijking op (zonder breuken, in vorm ... = 0) van de rechte door O(0,0) en P(2, −5):

a = (−5 − 0) / (2 − 0) = −5/2.
b = 0 (door oorsprong).
y = (−5/2)x → vermenigvuldig met 2 → 2y = −5x → 5x + 2y = 0.
Oefening 5 β€” Vgl. door 2 punten

Stel de cartesische vergelijking op (zonder breuken) van de rechte door P(−2, 1) en Q(4, 4):

Stap 1: rico a =

Stap 2: b-waarde =

Stap 3: cartesische vgl. =

a = (4 − 1) / (4 − (−2)) = 3/6 = 1/2.
Vul P in: 1 = (1/2)Β·(−2) + b → 1 = −1 + b → b = 2.
y = (1/2)x + 2 → (Γ— 2) → 2y = x + 4 → x − 2y + 4 = 0 (of −x + 2y − 4 = 0).
Oefening 6 β€” Evenwijdige rechten

Stel de cartesische vergelijking op:

a) Door P(−3, 7) en Q(5, 7) →

b) Door P(−2, 3) en Q(−2, −6) →

Oefening 7 β€” Aantal oplossingen

Bepaal het aantal oplossingen zonder het stelsel volledig op te lossen (kijk naar rico's en b-waarden):

a) y = 2x + 3  en  y = 2x − 5 →

b) y = 3x + 1  en  y = −x + 5 →

c) y = (1/2)x + 4  en  2y = x + 8 →

Vergelijk steeds rico (a) en b-waarde:
β€’ Verschillende a → snijdend (1 oplossing)
β€’ Zelfde a, verschillende b → strikt evenwijdig (geen)
β€’ Zelfde a Γ©n b → samenvallend (oneindig)
Oefening 8 β€” Gelijkstellingsmethode

Los op met gelijkstelling. Geef de oplossing als koppel.

y = 3x − 1 y = −x + 7

x =   y =

Gelijkstellen: 3x − 1 = −x + 7 → 4x = 8 → x = 2.
Vul in: y = 3Β·2 − 1 = 5.
Oefening 9 β€” Substitutiemethode

Los op met substitutie:

x + 2y = 11 3x − y = 5

x =   y =

Isoleer y in vgl 2: y = 3x − 5.
Vul in vgl 1: x + 2(3x − 5) = 11 → x + 6x − 10 = 11 → 7x = 21 → x = 3.
y = 3Β·3 − 5 = 4.
Oefening 10 β€” Combinatiemethode

Los op met combinatie:

2x + 3y = 12 4x − 3y = 6

x =   y =

De y-coΓ«fficiΓ«nten zijn al tegengesteld (3 en −3). Tel meteen op:
6x = 18 → x = 3.
Vul in vgl 1: 2Β·3 + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2.
Oefening 11 β€” Combinatie (vermenigvuldigen nodig)

Los op met combinatie. Tip: vermenigvuldig vgl 2 met 2.

3x + 4y = 18 5x − 2y = 4

x =   y =

Vgl 2 Γ— 2: 10x − 4y = 8.
Tel op met vgl 1 (3x + 4y = 18): 13x = 26 → x = 2.
Vul in vgl 1: 3Β·2 + 4y = 18 → 4y = 12 → y = 3.
Oefening 12 β€” Woordvraagstuk

Op de speeltuin staan fietsen (2 wielen) en steps (2 wielen, maar laten we voor het voorbeeld kiezen voor driewielers, 3 wielen). In totaal staan er 15 voertuigen met samen 38 wielen.

Hoeveel fietsen (f) en hoeveel driewielers (d) staan er?

f =   d =

Stel het stelsel op:
f + d = 15 (aantal voertuigen)
2f + 3d = 38 (totaal aantal wielen)
Substitutie: f = 15 − d → 2(15 − d) + 3d = 38 → 30 + d = 38 → d = 8 → f = 7.
Oefening 13 β€” Mix (kies zelf je methode)

Los het stelsel op met de methode die jij het handigst vindt:

x − 2y = −3 2x + y = 4

x =   y =

Substitutie is hier handig: x = 2y − 3 (uit vgl 1).
Vul in vgl 2: 2(2y − 3) + y = 4 → 5y = 10 → y = 2.
x = 2Β·2 − 3 = 1.
Oefening 14 β€” Speciaal stelsel

Los op. Hoeveel oplossingen heeft dit stelsel?

2x − 3y = 6 4x − 6y = 5

Aantal oplossingen:

Vermenigvuldig vgl 1 met −2: −4x + 6y = −12.
Tel op met vgl 2: 0 = −7 (vals!)
→ geen oplossing β€” de rechten zijn strikt evenwijdig.

πŸ”₯ Extra oefeningen β€” gevorderd niveau

Oefening 15 β€” Ligt het punt op de rechte?

Onderzoek of het punt op de gegeven rechte ligt. Vul "ja" of "nee" in.

a) r: x = −3, punt (−3, −6) →

b) s: 3x + 2y = 0, punt (−4, 6) →

c) t: y − 6 = 0, punt (0, 0) →

d) q: x − y − 3 = 0, punt (−3, −6) →

Vul de coΓΆrdinaten in de vergelijking in. Als beide leden gelijk zijn (of er staat 0 = 0), ligt het punt op de rechte.
Oefening 16 β€” Rico (incl. verticale rechte!)

Bereken de richtingscoΓ«fficiΓ«nt van de rechte AB. Schrijf "ng" als de rico niet gedefinieerd is.

a) A(2, 0) en B(4, −2) → rico =

b) A(−4, 1) en B(−4, 5) → rico =

c) A(7, 0) en B(0, 5) → rico =

d) A(6, 3) en B(5, 3) → rico =

Rico = (yβ‚‚ βˆ’ y₁)/(xβ‚‚ βˆ’ x₁). Als x₁ = xβ‚‚ (verticale rechte) β†’ niet gedefinieerd. Als y₁ = yβ‚‚ (horizontaal) β†’ rico = 0.
Oefening 17 β€” Snijpunten met de assen

Bereken de snijpunten met de x-as (Sx) en y-as (Sy). Schrijf "geen" als er geen is.

a) r: 3x + 2y − 12 = 0: Sx = (, 0); Sy = (0, )

b) s: 3x − 9 = 0: Sx = (, 0); Sy =

c) t: 2y − 6 = 0: Sx = ; Sy = (0, )

Sx: vul y = 0 in. Sy: vul x = 0 in. Voor verticaal (x=k): geen Sy. Voor horizontaal (y=b): geen Sx (tenzij y = 0).
Oefening 18 β€” Vgl. via rico + 1 punt

De rechte heeft rico = −1/2 en gaat door B(−6, 2). Stel de cartesische vergelijking op (zonder breuken):

b-waarde =

Cart. vgl.:

y = (βˆ’1/2)x + b. Vul B in: 2 = (βˆ’1/2)Β·(βˆ’6) + b β†’ 2 = 3 + b β†’ b = βˆ’1.
y = (βˆ’1/2)x βˆ’ 1 β†’ Γ— 2 β†’ 2y = βˆ’x βˆ’ 2 β†’ x + 2y + 2 = 0.
Oefening 19 β€” Parameter m: punt op rechte

Voor welke waarde van m ligt het punt (2, −1) op de rechte r: 3x + my + 1 = 0?

m =

Vul (2, βˆ’1) in: 3Β·2 + mΒ·(βˆ’1) + 1 = 0 β†’ 6 βˆ’ m + 1 = 0 β†’ m = 7.
Oefening 20 β€” Parameter m: rechte // y-as

Voor welke m is de rechte a: (m + 3)x + (m − 5)y + 4 = 0 evenwijdig met de y-as?

m =

// y-as betekent v = 0: m βˆ’ 5 = 0 β†’ m = 5. Controleer dat u dan β‰  0: m + 3 = 8 β‰  0 βœ“
Oefening 21 β€” Parameter m: 2 rechten evenwijdig

Voor welke m zijn deze rechten evenwijdig?

k: x + y − 24 = 0 l: mx − 6y − 2 = 0

m =

Rico k: y = βˆ’x + 24 β†’ rico = βˆ’1.
Rico l: βˆ’6y = βˆ’mx + 2 β†’ y = (m/6)x βˆ’ 1/3 β†’ rico = m/6.
Stel gelijk: m/6 = βˆ’1 β†’ m = βˆ’6.
Oefening 22 β€” Parameter m: stelsel zonder oplossing

Voor welke m heeft dit stelsel geen oplossing?

x − 2y − 3 = 0 6x + my − 20 = 0

m =

Geen oplossing β†’ strikt evenwijdig β†’ zelfde rico, andere b.
Rico vgl 1: 1/2. Rico vgl 2: 6/(βˆ’m) = βˆ’6/m. Stel gelijk: βˆ’6/m = 1/2 β†’ m = βˆ’12.
Controle dat b's verschillen: b₁ = βˆ’3/2, bβ‚‚ = 20/(βˆ’12) = βˆ’5/3. Verschillend βœ“
Oefening 23 β€” Woordvraagstuk: mengsel chocolade

Een chocolatier wil 10 kg chocolade van 75% cacao maken uit twee soorten: 90% en 50%. Hoeveel kg van elk?

kg van 90% =

kg van 50% =

Stelsel:
x + y = 10 (totale massa)
0,9x + 0,5y = 7,5 (cacao)
β†’ x = 6,25 kg van 90% en y = 3,75 kg van 50%.
Oefening 24 β€” Woordvraagstuk: cijfers verwisselen

Een 2-cijferig getal heeft cijfersom 11. Wissel je de cijfers, dan is het nieuwe getal 27 méér dan het oude. Bereken het oorspronkelijk getal.

Oorspronkelijk getal =

Tiental x, eenheden y. Getal = 10x + y. Omgewisseld = 10y + x.
Stelsel: x + y = 11; 10y + x = 10x + y + 27 β†’ βˆ’9x + 9y = 27 β†’ βˆ’x + y = 3.
Optellen: 2y = 14 β†’ y = 7, x = 4. Getal = 47.
Oefening 25 β€” Stelsel met haakjes wegwerken

Los op:

y = 2x + 3 4x − (y − 1) = 5

x =   y =

Vgl 2: 4x βˆ’ y + 1 = 5 β†’ 4x βˆ’ y = 4. Substitueer y: 4x βˆ’ (2x + 3) = 4 β†’ 2x = 7 β†’ x = 7/2.
y = 2Β·(7/2) + 3 = 10. β†’ S(7/2, 10).
Oefening 26 β€” Stelsel met breuken

Los op:

(1/2)x − (1/3)y = 3 4x − (y + 3) = 36

x =   y =

Vgl 1 Γ— 6: 3x βˆ’ 2y = 18. Vgl 2: 4x βˆ’ y βˆ’ 3 = 36 β†’ 4x βˆ’ y = 39.
Combinatie: vgl 2 Γ— (βˆ’2) β†’ βˆ’8x + 2y = βˆ’78. Optellen met vgl 1: βˆ’5x = βˆ’60 β†’ x = 12.
y = 4Β·12 βˆ’ 39 = 9. β†’ S(12, 9).

πŸŽ‰ Klaar?

Goed gedaan! Klaar voor het basis proefexamen of het pittigere examen 5u-niveau?

Voorkennis nog onzeker? Frist eerstegraadsfuncties op.

πŸ“

Proefexamen β€” Hoofdstuk 10 Stelsels

Test jezelf onder examencondities Β· 3de jaar 5u-wiskunde

πŸ“‹ Examenrichtlijnen

Werk de oefeningen op een blad uit met je volledige berekening. Vul daarna hier je eindantwoorden in en druk op Controleer per vraag. Onderaan zie je je totaalscore.

⏱️ Geschatte tijd: 50–60 min 🎯 Totaal: 50 punten βœ… Geslaagd vanaf: 25/50
πŸ“„ Download PDF (vragen + antwoordsleutel) ⬇️ Direct opslaan

PDF van 6 pagina's: vragenblad om af te drukken (met ruimte voor uitwerking en naam-/scoreveld) + volledige antwoordsleutel.

Vraag 1 β€” Cartesische vergelijkingen opstellen8 pt

Stel telkens de cartesische vergelijking op (zonder breuken, in de vorm ... = 0).

a) Door O(0,0) en A(3, −4): (2 pt)

b) Door P(−1, 2) en Q(3, −6): (3 pt)

c) Evenwijdig met de x-as, door R(−2, 5): (1 pt)

d) Evenwijdig met de y-as, door S(7, −3): (1 pt)

e) De cartesische vergelijking van f(x) = (3/4)x − 2: (1 pt)

a) a = (−4−0)/(3−0) = −4/3, b = 0 β†’ y = (−4/3)x β†’ Γ— 3: 4x + 3y = 0 (1 pt rico, 1 pt cart. vgl)
b) a = (−6−2)/(3−(−1)) = −8/4 = −2; vul P in: 2 = −2Β·(−1) + b β†’ b = 0 β†’ y = −2x β†’ 2x + y = 0 (1 pt rico, 1 pt b, 1 pt cart. vgl)
c) Horizontaal door y = 5 β†’ y − 5 = 0
d) Verticaal door x = 7 β†’ x − 7 = 0
e) y = (3/4)x − 2 β†’ Γ— 4 β†’ 4y = 3x − 8 β†’ 3x − 4y − 8 = 0

Vraag 2 β€” Type rechte herkennen5 pt

Geef voor elke vergelijking aan welk type rechte het is.

a) 5x − 2y = 0: (1 pt)

b) 6y + 18 = 0: (1 pt)

c) 4x − 3y + 12 = 0: (1 pt)

d) 3x − 9 = 0: (1 pt)

e) Geef voor de schuine rechte uit deze lijst de rico (a): (1 pt)

a) w = 0 β†’ door oorsprong
b) u = 0 β†’ // x-as (horizontaal)
c) alle ≠ 0 β†’ schuin
d) v = 0 β†’ // y-as (verticaal)
e) Voor c: 4x − 3y + 12 = 0 β†’ 3y = 4x + 12 β†’ y = (4/3)x + 4 β†’ rico = 4/3

Vraag 3 β€” Stelsel grafisch oplossen4 pt

Werk uit op een rooster (op blad) en lees het snijpunt af.

2x + y = 4 x − y = −1

a) Type rechten: (1 pt)

b) Snijpunt: x =   y = (2 pt)

c) Aantal oplossingen: (1 pt)

Schrijf om: y = −2x + 4 (rico = −2) en y = x + 1 (rico = 1).
Verschillende rico's β†’ snijdend.
Snijpunt: −2x + 4 = x + 1 β†’ 3 = 3x β†’ x = 1, y = 2.
Aantal oplossingen: 1.

Vraag 4 β€” Substitutiemethode5 pt

Los het stelsel op met de substitutiemethode (1 pt aanpak, 3 pt uitwerking, 1 pt eindantwoord).

y = 2x − 3 4x + 3y = 11

x =   y =

Vul vgl 1 in vgl 2: 4x + 3(2x − 3) = 11
4x + 6x − 9 = 11
10x = 20 β†’ x = 2
y = 2Β·2 − 3 = 1 β†’ S(2, 1)

Vraag 5 β€” Combinatiemethode6 pt

Los op met de combinatiemethode (vermenigvuldigen verplicht!).

5x − 2y = 16 3x + 4y = −6

x =   y =

Vermenigvuldig vgl 1 met 2: 10x − 4y = 32
Tel op met vgl 2 (3x + 4y = −6): 13x = 26 β†’ x = 2
Vul in vgl 1: 5Β·2 − 2y = 16 β†’ −2y = 6 β†’ y = −3 β†’ S(2, −3)

Vraag 6 β€” Speciaal stelsel4 pt

Bepaal het aantal oplossingen en verklaar (de uitleg telt voor de punten).

6x − 4y = 10 9x − 6y = 15

Aantal oplossingen:

Type rechten:

Deel vgl 1 door 2: 3x − 2y = 5. Deel vgl 2 door 3: 3x − 2y = 5. Identiek!
β†’ Samenvallende rechten β†’ oneindig veel oplossingen.
Tip: bij het volledig oplossen krijg je 0 = 0 (waar) β†’ oneindig veel.

Vraag 7 β€” Woordvraagstuk8 pt

Stel een stelsel op (3 pt) en los op met een methode naar keuze (5 pt).

In een dierentuin staan kippen (2 poten) en konijnen (4 poten). In totaal staan er 22 dieren met samen 64 poten.

Aantal kippen (k) =

Aantal konijnen (n) =

Stelsel:
  k + n = 22 (totaal aantal dieren)
  2k + 4n = 64 (totaal aantal poten)
Substitutie: k = 22 − n
2(22 − n) + 4n = 64
44 − 2n + 4n = 64
2n = 20 β†’ n = 10 konijnen
k = 22 − 10 = 12 kippen
Controle: 12 + 10 = 22 βœ“ ; 2Β·12 + 4Β·10 = 24 + 40 = 64 βœ“

Vraag 8 β€” Synthese10 pt

Combineer alles wat je geleerd hebt.

Gegeven: rechte r: 2x − 3y + 6 = 0 en rechte s door de punten P(0, −1) en Q(3, 5).

a) Cartesische vergelijking van s (zonder breuken): (3 pt)

b) Rico van r:    rico van s: (2 pt)

c) Type onderlinge ligging: (1 pt)

d) Snijpunt van r en s: x =   y = (4 pt)

a) rico s = (5−(−1))/(3−0) = 6/3 = 2; b = −1 (uit P(0,−1)) β†’ y = 2x − 1 β†’ 2x − y − 1 = 0
b) r: 3y = 2x + 6 β†’ y = (2/3)x + 2 β†’ rico = 2/3. s: rico = 2.
c) Verschillende rico's β†’ snijdend.
d) Stel het stelsel op met beide functievergelijkingen:
  y = (2/3)x + 2 en y = 2x − 1
Gelijkstelling: (2/3)x + 2 = 2x − 1 β†’ 3 = 2x − (2/3)x = (4/3)x β†’ x = 9/4 = 2,25
y = 2Β·(9/4) − 1 = 9/2 − 1 = 7/2 = 3,5 β†’ S(9/4, 7/2)
πŸ”₯

Proefexamen 5u β€” Pittiger niveau

Voor wie Γ©cht klaar wil zijn voor het 5u-examen Β· Met parametervragen en mengsels

πŸ”₯ Wat zit er in dit examen?

Dit is een uitgebreid proefexamen op 5u-niveau dat alle reeks 1, 2 Γ©n 3 onderwerpen uit het hoofdstuk dekt. Veel pittiger dan het basis-proefexamen.

⏱️ Geschatte tijd: 70 min 🎯 Totaal: 50 pt βœ… Geslaagd: 25/50 🌟 Onderscheiding: 35/50

Bevat o.a.:

  • Cart. vgl. via 5 verschillende manieren (incl. rico+punt en evenwijdig+punt)
  • Snijpunten met assen + verticale rechte (rico niet gedefinieerd)
  • Onderzoek van evenwijdigheid zonder rico te berekenen
  • 3 parametervragen β€” voor welke m gaat het // x-as / // y-as / door oorsprong / // andere rechte / geen oplossing
  • Stelsels met haakjes en breuken
  • Woordvraagstuk: mengsel met percentages (chocolade)
  • Synthese: 3 hoekpunten van een driehoek berekenen via stelsels
πŸ“„ Download PDF examen 5u ⬇️ Direct opslaan

PDF van 8 pagina's: examenvragen (4 pag.) + volledige uitwerking (4 pag.).

πŸ“š Hoe dit examen het beste maken?

  1. Print het PDF en werk uit op blad β€” onder examencondities (geen GSM, klok zichtbaar).
  2. Houd je aan de 70 minuten. Probeer eerst zonder de uitwerking.
  3. Vergelijk je werk met de antwoordsleutel achteraan.
  4. Bij fouten: zoek eerst zelf wat fout ging, lees pas daarna de uitleg.
  5. Niet gehaald (<25/50)? Ga eerst terug naar de Parameters-tab en de Toepassingen-tab.

πŸ“Š Vergelijking met het basis-proefexamen

Aspect Basis (50 pt) 5u (50 pt)
Tijd50 min70 min
Cart. vgl. opstellen4 manieren (8 pt)5 manieren incl. rico+punt (10 pt)
Parametersβ€”4 deelvragen (8 pt)
Stelsels met breukenβ€”1 vraag (5 pt)
Woordvraagstukkippen/konijnen (eenvoudig)mengsel met percentages
Synthese2 rechten + snijpunt3 hoekpunten driehoek (3 stelsels)
Onderzoek-vragenβ€”1 vraag (3 pt)

πŸ’‘ Tip: Begin met het basis-proefexamen. Lukt dat goed? Dan ben je klaar voor dit pittigere 5u-examen.

Hoofdstuk 10 β€” Stelsels Β· 3de jaar wiskunde Β· 3de trimester