Figuren met dezelfde vorm: de gelijkvormigheidsfactor, omtrek/oppervlakte/volume, en de drie kenmerken van gelijkvormige driehoeken.
Wat betekent "dezelfde vorm" precies — en hoe groot is de factor?
Gelijkvormige figuren zijn figuren met exact dezelfde vorm, maar mogelijk een andere grootte (groter of kleiner). Een figuur en zijn schaalmodel zijn gelijkvormig.
ABCD ~ A'B'C'D' (lees: "ABCD is gelijkvormig met A'B'C'D'"). Schrijf de overeenkomstige hoekpunten in dezelfde volgorde.
De gelijkvormigheidsfactor r bepaalt hoeveel keer groter of kleiner het beeld is t.o.v. het origineel.
| Waarde van r | Betekenis |
|---|---|
| r > 1 | het beeld is groter dan het origineel |
| r = 1 | het beeld en het origineel zijn congruent |
| 0 < r < 1 | het beeld is kleiner dan het origineel |
Bij gelijkvormige figuren geldt:
Voor veelhoeken moeten beide kloppen: gelijke hoeken én evenredige zijden.
Een schaalmodel is gelijkvormig met het origineel. De schaalfactor is gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor.
Schaal 1 : 200, een muur is 4 cm op de plattegrond → werkelijkheid = 4 cm × 200 = 800 cm = 8 m.
De grootste valkuil: oppervlakte en volume gaan niet met r, maar met r² en r³
| Grootheid | Verhouding (groot / klein) |
|---|---|
| Omtrek / lengte | P₂ / P₁ = r |
| Oppervlakte | A₂ / A₁ = r² |
| Volume | V₂ / V₁ = r³ |
Kleine balk 6 × 4 × 3, grote balk 18 × 12 × 9, dus r = 3:
r = √(oppervlakteverhouding)
bv. A-verhouding 9 → r = 3
r = derdemachtswortel(volumeverhouding)
bv. V-verhouding 8 → r = 2
Met een minimum aan voorwaarden besluiten dat twee driehoeken gelijkvormig zijn
Je hoeft niet alles te controleren — één van deze kenmerken volstaat:
| Kenmerk | Voorwaarde |
|---|---|
| ZZZ | de drie paar overeenkomstige zijden zijn evenredig |
| HH | twee paar overeenkomstige hoeken zijn gelijk |
| ZHZ | twee paar zijden evenredig én de ingesloten hoeken gelijk |
In driehoek ABC liggen D op [AB] en E op [BC], met DE // AC. Dan is driehoek ABC ~ driehoek DBE, want:
→ kenmerk HH → de driehoeken zijn gelijkvormig.
driehoek ABC ~ driehoek DBE met factor 3/2. Als |AC| = 10, bereken |DE|:
Een vast type examenvraag — leer deze uit het hoofd
| Categorie | Voorbeelden |
|---|---|
| ALTIJD | twee vierkanten · twee cirkels · twee gelijkzijdige driehoeken · twee kubussen · twee bollen |
| SOMS | twee rechthoeken · twee gelijkbenige driehoeken · twee ruiten · twee cilinders |
| NOOIT | een gelijkzijdige en een rechthoekige driehoek |
Reken het uit, typ je antwoord en klik op controleren. Gebruik een komma of punt voor decimalen.
1. Een zijde van het origineel is 6 cm, de overeenkomstige beeldzijde is 18 cm. Bereken r.
r =
2. driehoek ABC ~ driehoek DEF met r = 2. |AB| = 5. Bereken |DE|.
|DE| =
3. Twee gelijkvormige figuren met r = 3. De kleine heeft oppervlakte 5 cm². Bereken de oppervlakte van de grote (in cm²).
A =
4. Twee gelijkvormige lichamen met r = 2. Het kleine heeft volume 10 cm³. Bereken het volume van het grote (in cm³).
V =
5. Driehoek 1 heeft zijden 3, 4, 5. Driehoek 2 heeft zijden 6, 8, 10. Welk gelijkvormigheidskenmerk pas je toe?
6. Op een maquette met schaal 1 : 50 is een muur 4 cm hoog. Hoe hoog is de echte muur, in meter?
m
7. Je verdubbelt alle zijden van een figuur (r = 2). Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte?
keer
8. driehoek ABC ~ driehoek DEF. |AB| = 25, |DE| = 5 en |EF| = 6. Bereken eerst r, daarna |BC|.
r =
|BC| =
Een gescaffold oefenboekje in 7 niveaus (van met tips tot examenklaar) + een oplossingenblad met ouderhulp
42 oefeningen in 7 niveaus met schrijfruimte: eenvoudig met tips → moeilijker → expert → instinkers → examenklaar. Voorin een regelkaart met alle formules en kenmerken.
Alle antwoorden met tussenstappen, plus per niveau een vragenladder waarmee je als ouder kan helpen zónder het antwoord te verklappen.
Studeer de theorie via de bundels, hermaak de oefeningen uit de les en maak de oefeningen die niet in de les gemaakt werden. Niveau 7 hierboven volgt precies die stijl.