Een extra bundel: een laser kaatst via twee spiegels naar een sensor. Je beschrijft elk stuk van de straal met de vergelijking van een rechte en zoekt snijpunten met een stelsel — analytische meetkunde in een echte context.
Waar de stralengang vandaan komt, en welke stappen jij op het examen moet uitvoeren
Een laser staat in punt A. De straal botst op spiegel 1 (draaipunt B), kaatst naar spiegel 2 (draaipunt C) en komt zo op de sensor (LDR) in punt E tegen de muur. Elk recht stuk van de straal is een rechte; een spiegel is ook een rechte (de "drager"). De plaats van de sensor E vind je door telkens een vergelijking van een rechte op te stellen en snijpunten te berekenen.
Punten: A = laser · B = draaipunt spiegel 1 · C = draaipunt spiegel 2 · D = botspunt op spiegel 2 · E = sensor (LDR).
Rechten: r₁, r₂, r₃ = de drie stukken van de straal · s₂ = de drager van spiegel 2.
Hoeken: α = draaihoek spiegel 1 · β = draaihoek spiegel 2 (de drager s₂ is een dalende rechte).
Volgens de leerkracht krijg je de hellingshoek van r₂ (= γ, het resultaat van stap 1) gegeven. Jij voert stap 2 t.e.m. 5 uit. Stap 6–7 (tot aan de sensor E) zijn de volledige afwerking en gebruiken dezelfde technieken.
| Stap | Wat | Wie |
|---|---|---|
| 1 | De hellingshoek γ van r₂ bepalen | gegeven |
| 2 | Vergelijking van r₂: rico = tan γ, door punt B | jij |
| 3 | Vergelijking van s₂: rico = tan(−β), door punt C | jij |
| 4 | Snijpunt D: stelsel r₂ & s₂ (gelijkstelling) | jij |
| 5 | De hellingshoek τ van r₃: de spiegelregel | jij |
| 6 | Vergelijking van r₃: rico = tan τ, door punt D | afwerking |
| 7 | Snijpunt E: stelsel r₃ & de muur | afwerking |
De gereedschapskist uit de analytische meetkunde — drie manieren, plus de link met de hellingshoek
Welke je kiest, hangt af van wat je weet:
De richtingscoëfficiënt (rico) en de hellingshoek (de hoek met de x-as) horen bij elkaar:
De drager s₂ is een dalende rechte met draaihoek β. De hellingshoek is daarom −β, dus:
Dit is dé klassieke valkuil: wie tan(+β) neemt, krijgt de spiegel met de verkeerde helling en alle volgende stappen kloppen niet meer.
Punt D is het snijpunt van r₂ en s₂; punt E het snijpunt van r₃ en de muur. Een snijpunt is de oplossing van een stelsel. Bij twee rechten in de vorm y = ax + b werkt de gelijkstellingsmethode het snelst:
Hoe je de hellingshoek van de teruggekaatste straal r₃ vindt
Bij een spiegel geldt: invalshoek = terugkaatsingshoek. In termen van hellingshoeken levert dat een handige regel op. Als een straal met hellingshoek in op een spiegel met hellingshoek m botst, dan heeft de teruggekaatste straal hellingshoek:
Spiegel 2 heeft hellingshoek −β, en de invallende straal r₂ heeft hellingshoek γ. Dus de hellingshoek τ van r₃ is:
De hellingshoek γ van r₂ die je gegeven krijgt, volgt uit precies dezelfde spiegelregel bij spiegel 1 (hellingshoek +α): γ = 2α − δ, met δ de hellingshoek van de laserstraal r₁. Goed om te weten waar je gegeven vandaan komt — maar op het examen begin je gewoon met γ.
Eén opgave van γ tot de sensor E — precies de stappen die jij moet maken
Hellingshoek van r₂: γ = 6° (gegeven) · draaihoek spiegel 2: β = 50° · draaipunt spiegel 1: B(−2 ; 1) · draaipunt spiegel 2: C(2 ; 1) · de muur staat op y = −1.
Reken uit, typ je antwoord en klik op controleren. Gebruik een komma of punt voor decimalen; kleine afrondingsverschillen worden goedgerekend. Zet je rekenmachine op DEG.
1. De gegeven hellingshoek van r₂ is γ = 8°. Bereken de rico van r₂ (3 cijfers na de komma).
2. Spiegel s₂ is een dalende rechte met draaihoek β = 48°. Bereken de rico van s₂.
3. De hellingshoek van r₂ is γ = 5° en de draaihoek van spiegel 2 is β = 52°. Bereken de hellingshoek τ van r₃ (genoteerd tussen −90° en 90°).
4. Bepaal het snijpunt D van r₂: y = 0,2x + 1 en s₂: y = −1,3x + 4.
5. Gegeven: γ = 6°, β = 50°, draaipunt spiegel 1 B(−2 ; 1) en draaipunt spiegel 2 C(2 ; 1). Voer stap 2 t.e.m. 5 uit.
Vul telkens de gevraagde tussenresultaten in (2–3 cijfers na de komma).
6. De teruggekaatste straal is r₃: y = 3,49x − 4,46. Waar raakt ze de muur y = −1? Geef de x-coördinaat van E.
7. De spiegelregel geeft τ = −118°. Wat is de nette hellingshoek (tussen −90° en 90°)?
Een gescaffold oefenboekje in 6 niveaus (van bouwstenen tot instinkers) + een oplossingenblad met socratische ouderhulp
Oefeningen in 6 niveaus met schrijfruimte: bouwstenen → volledige opgave met tips → zonder tips → tot aan de sensor → expert → instinkers. Voorin een stappenplan en een regelkaart met alle formules.
Elke opgave volledig uitgewerkt stap voor stap, plus een socratische vragenladder waarmee je als ouder kan helpen zónder het antwoord te verklappen.